1.Facile
Una grandezza decresce secondo dy/dt = −k·y con k > 0. Vale 80 per t = 0 e 28 per t = 4 h. Trova la costante di velocità k in h⁻¹.
y(0) = 80y(4) = 28
k = h⁻¹
Scheda di esercizi di Equazioni differenziali con soluzioni
2.Facile
Un tracciante radioattivo ha un tempo di dimezzamento di 3 giorni. Un campione contiene inizialmente 40 mg. Il decadimento segue dm/dt = −k·m. Quanto m ne rimane dopo 1 giorni?
m0 = 40 mgt½ = 3 dt = 1 d
m = mg
3.Media
Un pezzo d’acciaio forgiato a 420 °C viene lasciato raffreddare in un’officina a 22 °C. Dopo 31 min la sua temperatura è 236 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Quanto tempo dopo l’inizio, t, impiega a raggiungere 129 °C?
T0 = 420 °CTa = 22 °CT(31) = 236 °CT = 129 °C
t = min
4.Media
Una lattina di bibita a 6 °C viene tolta dal frigorifero e portata in una stanza a 28 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Con k = 0,05 min⁻¹, trova la sua temperatura T dopo 15 min.
T0 = 6 °CTa = 28 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 15 min
T = °C
5.Difficile
Un sistema obbedisce a y″ + 3y′ + 27,25y = 54,5 per t ≥ 0, partendo da fermo: y(0) = 0, y′(0) = 0. Trova y(1); angoli in radianti.
y″ + 3y′ + 27,25y = 54,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
6.Difficile
Un serbatoio contiene 1000 L di acqua pura. Una salamoia con 0,2 kg di sale per litro entra a 5 L/min, e la soluzione ben miscelata esce con la stessa portata. Quanto sale m c’è nel serbatoio dopo 70 min?
V = 1000 Lm0 = 0 kgc = 0,2 kg/Lr = 5 L/min
m = kg
Soluzioni
- 1. k = 0,2625 h⁻¹
- 2. m = 31,75 mg
- 3. t = 65,63 min
- 4. T = 17,61 °C
- 5. y(1) = 2,002
- 6. m = 59,06 kg
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