1.Facile
Un sistema massa–molla–smorzatore è descritto da y″ + 15y′ + 25y = 0. Confrontalo con y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 e trova il coefficiente di smorzamento ζ.
y″ + 15y′ + 25y = 0
ζ =
Scheda di esercizi di Equazioni differenziali con soluzioni
2.Facile
Un tracciante radioattivo ha un tempo di dimezzamento di 30 giorni. Un campione contiene inizialmente 40 mg. Il decadimento segue dm/dt = −k·m. Quanto m ne rimane dopo 10 giorni?
m0 = 40 mgt½ = 30 dt = 10 d
m = mg
3.Media
Una lattina di bibita a 6 °C viene tolta dal frigorifero e portata in una stanza a 24 °C. Dopo 25 min la sua temperatura è 15 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Quanto tempo dopo l’inizio, t, impiega a raggiungere 11 °C?
T0 = 6 °CTa = 24 °CT(25) = 15 °CT = 11 °C
t = min
4.Media
Un pezzo d’acciaio forgiato a 440 °C viene lasciato raffreddare in un’officina a 25 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Con k = 0,01 min⁻¹, trova la sua temperatura T dopo 43 min.
T0 = 440 °CTa = 25 °Ck = 0,01 min⁻¹t = 43 min
T = °C
5.Difficile
Risolvi y″ + 4y′ + 20y = 0 con y(0) = 2 e y′(0) = 0 (rilasciato da fermo). Trova y(1); angoli in radianti.
y″ + 4y′ + 20y = 0y(0) = 2y′(0) = 0
y(1) =
6.Difficile
Risolvi y′ + y = 7e−0,5t con y(0) = 3. Trova y(1).
y′ + y = 7e−0,5ty(0) = 3
y(1) =
Soluzioni
- 1. ζ = 1,5
- 2. m = 31,75 mg
- 3. t = 11,74 min
- 4. T = 295 °C
- 5. y(1) = −0,2793
- 6. y(1) = 4,445
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