1.Facile
Un sistema massa–molla–smorzatore è descritto da y″ + 30y′ + 100y = 0. Confrontalo con y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 e trova il coefficiente di smorzamento ζ.
y″ + 30y′ + 100y = 0
ζ =
Scheda di esercizi di Equazioni differenziali con soluzioni
2.Facile
Per l’equazione y″ + 7y′ + 6y = 0, trova la radice r dell’equazione caratteristica più vicina a zero. Stabilisce quanto lentamente si smorza la soluzione.
y″ + 7y′ + 6y = 0
r =
3.Media
Una tazza di caffè a 92 °C viene lasciata in una stanza a 22 °C. Dopo 28 min la sua temperatura è 39 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trova la costante k in min⁻¹.
T0 = 92 °CTa = 22 °CT(28) = 39 °C
k = min⁻¹
4.Media
Una tazza di caffè a 81 °C viene lasciata in una stanza a 22 °C. Segue la legge di raffreddamento di Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Con k = 0,1 min⁻¹, trova la sua temperatura T dopo 14 min.
T0 = 81 °CTa = 22 °Ck = 0,1 min⁻¹t = 14 min
T = °C
5.Difficile
Un sistema obbedisce a y″ + 2y′ + 10y = 50 per t ≥ 0, partendo da fermo: y(0) = 0, y′(0) = 0. Trova il valore di picco ymax della sua risposta al gradino.
y″ + 2y′ + 10y = 50y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.Difficile
Risolvi y′ + y = 4e−0,5t con y(0) = 4. Trova y(1,5).
y′ + y = 4e−0,5ty(0) = 4
y(1.5) =
Soluzioni
- 1. ζ = 1,5
- 2. r = −1
- 3. k = 0,05055 min⁻¹
- 4. T = 36,55 °C
- 5. ymax = 6,755
- 6. y(1.5) = 2,886
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