Scheda di esercizi di Calcolo multivariabile con soluzioni

Scheda di esercizi di Calcolo multivariabile gratuita e stampabile: 6 esercizi dal livello facile a quello d’esame, con le soluzioni. Stampala o salvala come PDF.

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Nome: ____________________   Data: ____________

1.Facile

Per f(x, y) = −3xy³ − 3x³ + 4y², trova la derivata parziale seconda mista ∂²f/∂x∂y in (2, 1).

f(x, y) = −3xy³ − 3x³ + 4y²P = (2, 1)
fxy(2, 1) =
2.Facile
xyx = 2y = 5y = 2252

Calcola I = ∫02 ∫25 (x·e−y) dy dx sul rettangolo 0 ≤ x ≤ 2, 2 ≤ y ≤ 5.

f = x·e−y0 ≤ x ≤ 22 ≤ y ≤ 5
I =
3.Media
xy05−4−202vP

Per f(x, y) = 3xy³ + 4x² + y³ + xy, trova la derivata direzionale Duf in (3, −1) nella direzione di v = (4, −1).

f(x, y) = 3xy³ + 4x² + y³ + xyP = (3, −1)v = (4, −1)
Duf =
4.Media
xy−13∇fP

Per f(x, y) = −2xy³ + 4y² − 3xy, trova la direzione di massima crescita in (−1, 3) come angolo θ dall’asse x positivo, in gradi tra −180° e 180°.

f(x, y) = −2xy³ + 4y² − 3xyP = (−1, 3)
θ = °
5.Difficile
xy2

Usa le coordinate polari per calcolare I = ∬R (x² + y²) dA, dove R è il quarto del disco x² + y² ≤ 4 nel primo quadrante.

f = x² + y²0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ π/2
I =
6.Difficile
xy05−2024(0, 0)(3, 3)

Trova i punti critici di f(x, y) = x³ + y³ − 9xy, classificali e dai il valore fmin di f nel suo minimo locale.

f(x, y) = x³ + y³ − 9xy
fmin =

Soluzioni

  1. 1. fxy(2, 1) = −9
  2. 2. I = 0,2572
  3. 3. Duf = 11,4
  4. 4. θ = 127,9 °
  5. 5. I = 6,283
  6. 6. fmin = −27

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