Scheda di esercizi di Ottimizzazione con soluzioni

Un agricoltore ha 40 m di recinzione per recintare un campo rettangolare lungo un fiume rettilineo. Lungo il fiume non serve recinzione. Trova la lunghezza y del lato parallelo al fiume per avere l’area massima.

Una scatola aperta si ottiene da un foglio quadrato di cartone di 42 cm × 42 cm ritagliando dai quattro angoli quadrati uguali di lato x e ripiegando i lati. Trova il taglio x che dà il volume massimo.

Una lattina cilindrica chiusa (con coperchio e fondo) deve contenere 250 cm³. Il metallo usato è proporzionale alla superficie totale. Trova l’altezza h della lattina che usa meno materiale.

Una scatola aperta (senza coperchio) a base quadrata deve contenere 108000 cm³. Usa il minor materiale possibile, cioè la minima area della base più i quattro lati. Trova il lato di base x.

Un’azienda vende q unità alla settimana. Il prezzo a cui può venderle è p = 120 − 1q euro per unità, e il costo è C(q) = 500 + 50q euro. Trova la produzione settimanale q che massimizza il profitto.

Una piccola impresa vende il suo prodotto a un prezzo di mercato fisso di €70 per unità. Produrre q unità costa C(q) = 2000 + 42q + 0,02q² euro. Trova la produzione q che massimizza il profitto.