Scheda di esercizi di Ottimizzazione con soluzioni

Una scatola aperta si ottiene da un foglio quadrato di cartone di 24 cm × 24 cm ritagliando dai quattro angoli quadrati uguali di lato x e ripiegando i lati. Trova il volume massimo possibile V.

Un agricoltore ha 40 m di recinzione per recintare un campo rettangolare lungo un fiume rettilineo. Lungo il fiume non serve recinzione. Trova la lunghezza y del lato parallelo al fiume per avere l’area massima.

Una lattina cilindrica chiusa (con coperchio e fondo) deve contenere 330 cm³. Il metallo usato è proporzionale alla superficie totale. Trova il raggio r che usa meno materiale.

Una scatola aperta (senza coperchio) a base quadrata deve contenere 13500 cm³. Usa il minor materiale possibile, cioè la minima area della base più i quattro lati. Trova l’altezza h.

Un’azienda vende q unità alla settimana. Il prezzo a cui può venderle è p = 200 − 1q euro per unità, e il costo è C(q) = 4300 + 15q euro. Trova la produzione settimanale q che massimizza il profitto.

Un teatro vende 800 biglietti per spettacolo a €10 ciascuno. Un’indagine di mercato mostra che ogni aumento di €1 del prezzo del biglietto comporta 25 biglietti venduti in meno (e ogni diminuzione di €1, 25 in più). Trova il ricavo massimo R per spettacolo.