Scheda di esercizi di Stabilità: Routh–Hurwitz e luogo delle radici con soluzioni

Scheda di esercizi di Stabilità: Routh–Hurwitz e luogo delle radici gratuita e stampabile: 6 esercizi dal livello facile a quello d’esame, con le soluzioni. Stampala o salvala come PDF.

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Nome: ____________________   Data: ____________

1.Facile
s³12s²a12s¹(2·a − 12)/as⁰12

L’equazione caratteristica di un anello chiuso è s³ + a·s² + 2s + 12 = 0. Trova il valore a oltre il quale il sistema è stabile.

s³ + a·s² + 2s + 12 = 0
a =
2.Facile
R(s)+251s(s + 8)C(s)−

Un anello a retroazione unitaria ha la funzione di trasferimento ad anello aperto L(s) = 25/(s(s + 8)). I poli ad anello chiuso sono complessi. Trova la loro parte immaginaria ωd.

L(s) = 25/(s(s + 8))
ωd = rad/s
3.Media
R(s)+K1(s + 2)(s + 3)(s + 6)C(s)−

Un anello a retroazione unitaria ha L(s) = K/((s + 2)(s + 3)(s + 6)), con K > 0. Trova il guadagno massimo Kmax per cui l’anello chiuso è stabile.

L(s) = K/((s + 2)(s + 3)(s + 6))
Kmax =
4.Media
R(s)+Ks + 5(s − 1)(s + 1)C(s)−

Il sistema G(s) = (s + 5)/((s − 1)(s + 1)) ha un polo instabile in s = 1. Un guadagno proporzionale K chiude un anello a retroazione unitaria attorno a esso. Trova il guadagno minimo Kmin che rende stabile l’anello chiuso.

G(s) = (s + 5)/((s − 1)(s + 1))
Kmin =
5.Difficile
ReIm−2−4−6−8−10−12j2sb​

È mostrato il luogo delle radici di L(s) = K/((s + 4)(s + 10)). Trova il guadagno K nel punto di diramazione sb, dove i due poli ad anello chiuso si incontrano sull’asse reale.

L(s) = K/((s + 4)(s + 10))
K =
6.Difficile
ReIm−1−2−3−4−5−6j1

Il luogo delle radici di L(s) = K(s + 5)/(s(s + 3)) lascia l’asse reale tra s = 0 e s = −3, gira in cerchio e raggiunge di nuovo l’asse reale a sinistra dello zero. Trova il punto di diramazione sb.

L(s) = K(s + 5)/(s(s + 3))
sb =

Soluzioni

  1. 1. a = 6
  2. 2. ωd = 3 rad/s
  3. 3. Kmax = 360
  4. 4. Kmin = 0,2
  5. 5. K = 9
  6. 6. sb = −1,838

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