Scheda di esercizi di Stabilità: Routh–Hurwitz e luogo delle radici con soluzioni

Per il polinomio caratteristico Q(s) = s³ + 5s² + 3s + 24, trova l’elemento b₁ della prima colonna nella riga s¹ della tabella di Routh.

Il polinomio caratteristico di un sistema retroazionato è Q(s) = s⁴ + s³ + 8s² + 5s + 16. Costruisci la tabella di Routh e trova quante radici N di Q(s) stanno nel semipiano destro.

Il sistema G(s) = (s + 10)/((s − 4)(s + 5)) ha un polo instabile in s = 4. Un guadagno proporzionale K chiude un anello a retroazione unitaria attorno a esso. Trova il guadagno minimo K_min che rende stabile l’anello chiuso.

L’anello nello schema ha la funzione di trasferimento ad anello aperto L(s) = K/(s(s + 2)(s + 5)). Il guadagno viene aumentato finché l’anello chiuso è al limite della stabilità. Trova la frequenza ω dell’oscillazione sostenuta.

È mostrato il luogo delle radici di L(s) = K/((s + 3)(s + 11)). Trova il guadagno K nel punto di diramazione s_b, dove i due poli ad anello chiuso si incontrano sull’asse reale.

Il luogo delle radici di L(s) = K(s + 5)/(s(s + 4)) lascia l’asse reale tra s = 0 e s = −4, gira in cerchio e raggiunge di nuovo l’asse reale a sinistra dello zero. Trova il punto di confluenza s_i.