Scheda di esercizi di Stabilità: Routh–Hurwitz e luogo delle radici con soluzioni

Scheda di esercizi di Stabilità: Routh–Hurwitz e luogo delle radici gratuita e stampabile: 6 esercizi dal livello facile a quello d’esame, con le soluzioni. Stampala o salvala come PDF.

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Nome: ____________________   Data: ____________

1.Facile
s³110s²a50s¹(10·a − 50)/as⁰50

L’equazione caratteristica di un anello chiuso è s³ + a·s² + 10s + 50 = 0. Trova il valore a oltre il quale il sistema è stabile.

s³ + a·s² + 10s + 50 = 0
a =
2.Facile
R(s)+K2s + 1C(s)−

Un guadagno proporzionale K controlla il sistema G(s) = 2/(s + 1) in un anello a retroazione unitaria. Trova il guadagno K che pone il polo ad anello chiuso in s = −9.

G(s) = 2/(s + 1)p = −9
K =
3.Media
R(s)+Ks + 2(s − 1)(s + 1)C(s)−

Il sistema G(s) = (s + 2)/((s − 1)(s + 1)) ha un polo instabile in s = 1. Un guadagno proporzionale K chiude un anello a retroazione unitaria attorno a esso. Trova il guadagno minimo Kmin che rende stabile l’anello chiuso.

G(s) = (s + 2)/((s − 1)(s + 1))
Kmin =
4.Media
R(s)+K1s(s + 1)(s + 4)C(s)−

L’anello nello schema ha la funzione di trasferimento ad anello aperto L(s) = K/(s(s + 1)(s + 4)). Il guadagno viene aumentato finché l’anello chiuso è al limite della stabilità. Trova la frequenza ω dell’oscillazione sostenuta.

L(s) = K/(s(s + 1)(s + 4))
ω = rad/s
5.Difficile
ReIm−2−4−6−8−10−12j2sb​

È mostrato il luogo delle radici di L(s) = K/((s + 5)(s + 11)). Trova il guadagno K nel punto di diramazione sb, dove i due poli ad anello chiuso si incontrano sull’asse reale.

L(s) = K/((s + 5)(s + 11))
K =
6.Difficile
ReIm−1−2−3−4−5−6−7−8−9−101j1j2

Il luogo delle radici di L(s) = K(s + 8)/(s(s + 6)) lascia l’asse reale tra s = 0 e s = −6, gira in cerchio e raggiunge di nuovo l’asse reale a sinistra dello zero. Trova il punto di diramazione sb.

L(s) = K(s + 8)/(s(s + 6))
sb =

Soluzioni

  1. 1. a = 5
  2. 2. K = 4
  3. 3. Kmin = 0,5
  4. 4. ω = 2 rad/s
  5. 5. K = 9
  6. 6. sb = −4

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