Scheda di esercizi di Stabilità: Routh–Hurwitz e luogo delle radici con soluzioni

Scheda di esercizi di Stabilità: Routh–Hurwitz e luogo delle radici gratuita e stampabile: 6 esercizi dal livello facile a quello d’esame, con le soluzioni. Stampala o salvala come PDF.

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Nome: ____________________   Data: ____________

1.Facile
s³12s²a16s¹(2·a − 16)/as⁰16

L’equazione caratteristica di un anello chiuso è s³ + a·s² + 2s + 16 = 0. Trova il valore a oltre il quale il sistema è stabile.

s³ + a·s² + 2s + 16 = 0
a =
2.Facile
R(s)+K = 12s + 5C(s)−

Un controllore proporzionale con guadagno K = 1 comanda il sistema G(s) = 2/(s + 5) in un anello a retroazione unitaria. Trova il polo ad anello chiuso p.

G(s) = 2/(s + 5)K = 1
p =
3.Media
R(s)+Ks + 2(s − 1)(s + 3)C(s)−

Il sistema G(s) = (s + 2)/((s − 1)(s + 3)) ha un polo instabile in s = 1. Un guadagno proporzionale K chiude un anello a retroazione unitaria attorno a esso. Trova il guadagno minimo Kmin che rende stabile l’anello chiuso.

G(s) = (s + 2)/((s − 1)(s + 3))
Kmin =
4.Media
R(s)+K1(s + 2)(s + 4)(s + 6)C(s)−

Un anello a retroazione unitaria ha L(s) = K/((s + 2)(s + 4)(s + 6)), con K > 0. Trova il guadagno massimo Kmax per cui l’anello chiuso è stabile.

L(s) = K/((s + 2)(s + 4)(s + 6))
Kmax =
5.Difficile
ReIm−1−2−3−4−5−6j1

Per L(s) = K/((s + 5)(s² + 2s + 2)), trova l’angolo di partenza θd del luogo delle radici dal polo complesso nel semipiano superiore, misurato dall’asse reale positivo.

L(s) = K/((s + 5)(s² + 2s + 2))
θd = °
6.Difficile
ReIm−0,5−1−1,5−2−2,50,5j0,5j1

Il luogo delle radici di L(s) = K/(s(s + 1)(s + 2)) lascia l’asse reale tra s = 0 e s = −1. Trova il punto di diramazione sb.

L(s) = K/(s(s + 1)(s + 2))
sb =

Soluzioni

  1. 1. a = 8
  2. 2. p = −7
  3. 3. Kmin = 1,5
  4. 4. Kmax = 480
  5. 5. θd = 75,96 °
  6. 6. sb = −0,4226

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