1.Facile
Un sistema ad anello chiuso ha l’equazione caratteristica s³ − 6s² − 8s − 28 = 0. Usa il criterio di Routh–Hurwitz per trovare il numero N di poli ad anello chiuso nel semipiano destro del piano s.
Q(s) = s³ − 6s² − 8s − 28
N =
Scheda di esercizi di Stabilità: Routh–Hurwitz e luogo delle radici con soluzioni
2.Facile
Un guadagno proporzionale K controlla il sistema G(s) = 10/(s + 2) in un anello a retroazione unitaria. Trova il guadagno K che pone il polo ad anello chiuso in s = −22.
G(s) = 10/(s + 2)p = −22
K =
3.Media
L’anello nello schema ha la funzione di trasferimento ad anello aperto L(s) = K/(s(s + 6)(s + 10)). Il guadagno viene aumentato finché l’anello chiuso è al limite della stabilità. Trova la frequenza ω dell’oscillazione sostenuta.
L(s) = K/(s(s + 6)(s + 10))
ω = rad/s
4.Media
Il sistema G(s) = (s + 8)/((s − 4)(s + 1)) ha un polo instabile in s = 4. Un guadagno proporzionale K chiude un anello a retroazione unitaria attorno a esso. Trova il guadagno minimo Kmin che rende stabile l’anello chiuso.
G(s) = (s + 8)/((s − 4)(s + 1))
Kmin =
5.Difficile
Un anello a retroazione unitaria ha L(s) = K(s + 10)/((s + 5)(s + 1)(s + 2)(s + 3)). Trova il punto σa in cui gli asintoti del luogo delle radici incrociano l’asse reale.
L(s) = K(s + 10)/((s + 5)(s + 1)(s + 2)(s + 3))
σa =
6.Difficile
Il luogo delle radici di L(s) = K(s + 6)/(s(s + 4)) lascia l’asse reale tra s = 0 e s = −4, gira in cerchio e raggiunge di nuovo l’asse reale a sinistra dello zero. Trova il punto di diramazione sb.
L(s) = K(s + 6)/(s(s + 4))
sb =
Soluzioni
- 1. N = 1
- 2. K = 2
- 3. ω = 7,746 rad/s
- 4. Kmin = 3
- 5. σa = −0,3333
- 6. sb = −2,536
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