AP Calculus の練習問題：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

最適化

解き方: Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
最大値: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
最小値: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ふたのある円柱: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
利益: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

数列と級数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
無限等比級数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p 級数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比判定法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
収束半径: R = lim |c_k/c_k+1|
テイラー多項式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
マクローリン級数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ラグランジュの誤差評価: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

解き方

種類を見極めましょう：等差（一定の差）、等比（一定の比）、標準的な級数、べき級数、テイラー多項式。
和には Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)、または |r| < 1 のとき S = a₁/(1 − r) を使います。a₁ はその和の最初の項です。
収束については：まず第 n 項判定法、次に Σ1/kᵖ や等比級数との比較を行い、階乗や k 乗には比判定法か根判定法を使います。
テイラー多項式では、f(a)、f′(a)、f″(a)、… を並べ、第 k 階導関数を k! で割り、誤差を M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! で評価します。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (√(9x² − 4x) − 3x) を求めなさい。

f(x) = √(9x² − 4x) − 3xx → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 (1 − cos 3x)/(4x²) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。

f(x) = (1 − cos 3x)/(4x²)x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = (3x + 3)³ とします。f′(1) を求めなさい。

f(x) = (3x + 3)³x = 1

f′(1) =

4.微分むずかしい

f(x) = 3x² + 5x − 4 の x = 3 における接線は、y 軸と y = b で交わります。b を求めなさい。

f(x) = 3x² + 5x − 4x = 3

b =

5.最適化ふつう

1200 m² の長方形の土地の 4 辺すべてに柵を設けます。道路に面した長さ x の辺は 1 m あたり €25、ほかの 3 辺は 1 m あたり €8 かかります。総費用の最小値 C を求めなさい。

A = 1200 m²€25/m€8/m

C = €

6.最適化むずかしい

ある劇場では 1 公演あたり 390 枚のチケットを 1 枚 €20 で販売しています。市場調査によると、チケット価格を €1 上げるごとに販売枚数は 10 枚減ります（€1 下げるごとに 10 枚増えます）。売上高が最大になるチケット価格 p を求めなさい。

390 × €2010 / €1

p = €

7.積分ふつう

I = ∫₀² e^0.5x dx を計算しなさい。

f(x) = e^0.5x[0, 2]

I =

8.積分むずかしい

I = ∫₀^1.5 x²·eˣ dx を計算しなさい。

∫₀^1.5 x²eˣ dx

I =

9.微分方程式ふつう

y(0) = 1、y′(0) = 1 として y″ + 4y′ + 3y = 0 を解きなさい。y(2) を求めなさい。

y″ + 4y′ + 3y = 0y(0) = 1y′(0) = 1

y(2) =

10.微分方程式むずかしい

x > 0 で初期値問題 y′ + 2y/x = 6x²、y(1) = 2 を解きなさい。y(3) を求めなさい。

y′ + 2y/x = 6x²y(1) = 2

y(3) =

11.数列と級数ふつう

4 つの級数のうち、ちょうど 1 つが収束します。それをクリックしてください。

A: Σ k!/10ᵏB: Σ (5k + 1)/(k + 2)C: Σ (5/3)ᵏD: Σ (2/5)ᵏ

1A: Σ k!/10ᵏ
2B: Σ (5k + 1)/(k + 2)
3C: Σ (5/3)ᵏ
4D: Σ (2/5)ᵏ

12.数列と級数むずかしい

級数を見抜いて、その和を求めましょう：S = Σ_k=0^∞ (−1)ᵏ·0.5^2k+1/(2k + 1)!。

a_k = (−1)ᵏ·0.5^2k+1/(2k + 1)!

S =

3溶液

1.極限

答え: L = −0.6667

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

共役な式を掛ける

f(x) = −4x/(√(9x² − 4x) + 3x)

x で割る

f(x) = −4/(√(9 + (−4)/x) + 3)

x → ∞ とする

L = −4/(3 + 3) = −0.6667

答え

L = −0.6667

2.極限

答え: L = 1.125

1 回目の適用

3·sin 3x/(8x) → 0/0

2 回目の適用

9·cos 3x/8

x = 0 を代入する

L = 9/8 = 1.125

答え

L = 1.125

3.微分

答え: f′(1) = 324

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

連鎖律

f′(x) = 3·(3x + 3)²·3

代入する

f′(1) = 3·6²·3 = 324

答え

f′(1) = 324

4.微分

答え: b = −31

接点と傾き

f(3) = 38

f′(x) = 6x + 5 → f′(3) = 23

x = 0 での接線の値

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 38 − 23·3 = −31

答え

b = −31

5.最適化

答え: C = 1592 €

最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。

x の関数としての費用

C(x) = 33x + 19200/x

導関数をゼロとおく

C″(x) = 38400/x³ > 0 なので、これは最小です。

x = √(19200/33) = 24.12 m

y = 1200/24.12 = 49.75 m

最小費用

C = 33·24.12 + 19200/24.12 = €1592

答え

C = €1592

6.最適化

答え: p = 29.5 €

価格の関数としての売上高

n(p) = 590 − 10p

R(p) = 590p − 10p²

導関数をゼロとおく

R″(p) = −20 < 0 なので、これは最大です。

p = 590/20 = €29.5

最大売上高

n = 590 − 10·29.5 = 295

R = 29.5·295 = €8703

答え

p = €29.5

7.積分

答え: I = 3.437

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

原始関数

F(x) = e^0.5x/0.5

上端と下端を代入する

I = (e¹ − 1)/0.5 = (2.718 − 1)/0.5 = 3.437

答え

I = 3.437

8.積分

答え: I = 3.602

部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。

1 回目

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

2 回目

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

極限

4.482·(1.25) − 1·2 = 3.602

答え

I = 3.602

9.微分方程式

答え: y(2) = 0.2682

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = e^rt とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·e^rt（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 の形に書くと、ω_n は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

特性方程式の根

(r + 1)(r + 3) = 0 → r = −1, −3

初期値から求める定数

A + B = 1, −1A − 3B = 1

A = 2, B = −1

計算する

y(2) = 2·e⁻² + (−1)·e⁻⁶ = 0.2682

答え

y(2) = 0.2682

10.微分方程式

答え: y(3) = 32.49

1 階微分方程式：dy/dt = k·y の解は y = y₀·e^kt です（k > 0 なら増加、k < 0 なら減少）。半減期 T からは k = ln 2/T が得られます。ニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) からは T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt が得られます。線形方程式 y′ + p(x)·y = q(x) は積分因子 μ = e^{∫p dx} を使って解きます：(μy)′ = μq なので、μy = ∫μq dx + C です。

積分因子

μ = e^{∫2/x dx} = x²

積分する

(x²y)′ = 6x⁴ → x²y = 6x⁵/5 + C

初期条件

2 = 6/5 + C → C = 0.8

計算する

y(3) = (6·3⁵/5 + 0.8)/3² = 32.49

答え

y(3) = 32.49

11.数列と級数

答え: D: Σ (2/5)ᵏ

各級数を判定する

A: Σ k!/10ᵏ → 比判定法：L = lim (k + 1)/10 = ∞ なので発散します。

B: Σ (5k + 1)/(k + 2) → 項は 0 ではなく 5 に近づきます：第 n 項判定法により発散します。

C: Σ (5/3)ᵏ → r = 5/3 > 1 の等比級数：項が大きくなるので発散します。

D: Σ (2/5)ᵏ → r = 2/5 の等比級数で |r| < 1：収束します。

答え

D: Σ (2/5)ᵏ

答え

D: Σ (2/5)ᵏ

12.数列と級数

答え: S = 0.4794

テイラー多項式：x = a の近くで、滑らかな関数は Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! で近似されます。a = 0 のときがマクローリン多項式です。標準的な級数：eˣ = Σxᵏ/k!、sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …、cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …、ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …、1/(1 − x) = Σxᵏ。ラグランジュの誤差評価：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!。ここで M は a と x の間での |f⁽ⁿ⁺¹⁾| の最大値です。

標準的な級数

Σ (−1)ᵏx^2k+1/(2k + 1)! = sin x

代入する

x = 0.5

S = sin 0.5 = 0.4794

答え

S = 0.4794

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