AP Calculus の練習問題：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

最適化

解き方: Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
最大値: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
最小値: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ふたのある円柱: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
利益: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

数列と級数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
無限等比級数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p 級数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比判定法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
収束半径: R = lim |c_k/c_k+1|
テイラー多項式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
マクローリン級数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ラグランジュの誤差評価: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

解き方

種類を見極めましょう：等差（一定の差）、等比（一定の比）、標準的な級数、べき級数、テイラー多項式。
和には Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)、または |r| < 1 のとき S = a₁/(1 − r) を使います。a₁ はその和の最初の項です。
収束については：まず第 n 項判定法、次に Σ1/kᵖ や等比級数との比較を行い、階乗や k 乗には比判定法か根判定法を使います。
テイラー多項式では、f(a)、f′(a)、f″(a)、… を並べ、第 k 階導関数を k! で割り、誤差を M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! で評価します。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (3x² + 6x + 2)/(4x² + 6x + 8) を求めなさい。

f(x) = (3x² + 6x + 2)/(4x² + 6x + 8)x → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 (e^−0.5x − 1 + 0.5x)/x² を求めなさい。

f(x) = (e^−0.5x − 1 + 0.5x)/x²x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = x·sin(3x)（x はラジアン）とします。f′(1) を求めなさい。

f(x) = x·sin(3x)x = 1 rad

f′(1) =

4.微分むずかしい

f(x) = 2x² − 3x + 4 の x = 3 における接線は、y 軸と y = b で交わります。b を求めなさい。

f(x) = 2x² − 3x + 4x = 3

b =

5.最適化ふつう

底面が正方形のふたのない箱に 32000 cm³ を入れなければなりません。材料をできるだけ少なく、つまり底面と 4 つの側面の面積の合計を最小にします。底面の辺の長さ x を求めなさい。

V = 32000 cm³

x = cm

6.最適化むずかしい

ある会社は週に q 個を販売します。販売できる価格は 1 個あたり p = 90 − 0.1q ユーロ、費用は C(q) = 2700 + 30q ユーロです。利益が最大になる価格 p を求めなさい。

p = 90 − 0.1qC = 2700 + 30q

p = €

7.積分ふつう

I = ∫₁⁵ x·ln x dx を計算しなさい。

∫₁⁵ x ln x dx

I =

8.積分むずかしい

放物線 y = 9 − x² と x 軸で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。

y = 9 − x²

A =

9.微分方程式ふつう

4 °C の缶ジュースを冷蔵庫から 28 °C の部屋に出します。温度はニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) に従います。 k = 0.1 min⁻¹ として、23 分後の温度 T を求めなさい。

T₀ = 4 °CT_a = 28 °Ck = 0.1 min⁻¹t = 23 min

T = °C

10.微分方程式むずかしい

x > 0 で初期値問題 y′ + 2y/x = 3、y(1) = −2 を解きなさい。y(3) を求めなさい。

y′ + 2y/x = 3y(1) = −2

y(3) =

11.数列と級数ふつう

Σ_k=1^∞ (k!)²·5ᵏ/(2k)! に比判定法を適用してください。L = lim |a_k+1/a_k| を求めてください。

a_k = (k!)²·5ᵏ/(2k)!

L =

12.数列と級数むずかしい

f(x) = sin x を、x = 1.5 で n 次のマクローリン多項式により近似します。M = 1 としてラグランジュの誤差評価 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! を使い、誤差が 0.001 未満になることを保証する最小の次数 n を求めてください。

f(x) = sin xx = 1.5M = 1ε = 0.001

n =

3溶液

1.極限

答え: L = 0.75

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

最高次の累乗で割る

(3 + 6/x + 2/x²)/(4 + 6/x + 8/x²)

x → ∞ とする

L = 3/4 = 0.75

答え

L = 0.75

次数が等しければ、極限は最高次の係数の比になります。

2.極限

答え: L = 0.125

1 回目の適用

(−0.5·e^−0.5x + 0.5)/(2x) → 0/0

2 回目の適用

0.25·e^−0.5x/2

x = 0 を代入する

L = 0.25·1/2 = 0.125

答え

L = 0.125

3.微分

答え: f′(1) = −2.829

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

積の法則と連鎖律

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

代入する

f′(1) = 0.1411 + 3·(−0.99) = −2.829

答え

f′(1) = −2.829

4.微分

答え: b = −14

接点と傾き

f(3) = 13

f′(x) = 4x − 3 → f′(3) = 9

x = 0 での接線の値

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 13 − 9·3 = −14

答え

b = −14

5.最適化

答え: x = 40 cm

最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。

x の関数としての面積

S(x) = x² + 128000/x

導関数をゼロとおく

S″(x) = 2 + 256000/x³ > 0 なので、これは最小です。

x³ = 64000 → x = 40 cm

高さと面積

h = 32000/40² = 20 cm

S = 40² + 128000/40 = 4800 cm²

答え

x = 40 cm

最適なふたのない箱の高さは、幅の半分です。

6.最適化

答え: p = 60 €

利益関数

P(q) = (90 − 0.1q)·q − (2700 + 30q) = −0.1q² + 60q − 2700

導関数をゼロとおく

P″(q) = −0.2 < 0 なので、これは最大です。

q = 60/0.2 = 300

価格と利益

p = 90 − 0.1·300 = €60

P = 60·300 − 0.1·300² − 2700 = €6300

答え

p = €60

7.積分

答え: I = 14.12

部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。

u と dv を選ぶ

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

原始関数

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

極限

(12.5·ln 5 − 6.25) − (0 − 0.25) = 14.12

答え

I = 14.12

8.積分

答え: A = 36

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

零点

9 − x² = 0 → x = ±3

積分する

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

答え

A = 36

9.微分方程式

答え: T = 25.59 °C

1 階微分方程式：dy/dt = k·y の解は y = y₀·e^kt です（k > 0 なら増加、k < 0 なら減少）。半減期 T からは k = ln 2/T が得られます。ニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) からは T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt が得られます。線形方程式 y′ + p(x)·y = q(x) は積分因子 μ = e^{∫p dx} を使って解きます：(μy)′ = μq なので、μy = ∫μq dx + C です。

冷却法則の解

T(t) = 28 + (−24)·e^−0.1t

t を代入する

T(23) = 28 + (−24)·0.1003 = 25.59 °C

答え

T = 25.59 °C

10.微分方程式

答え: y(3) = 2.667

積分因子

μ = e^{∫2/x dx} = x²

積分する

(x²y)′ = 3x² → x²y = 3x³/3 + C

初期条件

−2 = 3/3 + C → C = −3

計算する

y(3) = (3·3³/3 + (−3))/3² = 2.667

答え

y(3) = 2.667

11.数列と級数

答え: L = 1.25

連続する項の比

|a_k+1/a_k| = 5·(k + 1)²/((2k + 2)(2k + 1)) → 5/4

結論

L = 1.25 > 1

答え

L = 1.25

L > 1 なので、級数は発散します。

12.数列と級数

答え: n = 7

テイラー多項式：x = a の近くで、滑らかな関数は Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! で近似されます。a = 0 のときがマクローリン多項式です。標準的な級数：eˣ = Σxᵏ/k!、sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …、cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …、ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …、1/(1 − x) = Σxᵏ。ラグランジュの誤差評価：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!。ここで M は a と x の間での |f⁽ⁿ⁺¹⁾| の最大値です。

n を増やしたときの評価値

n = 6: 0.00339 ≥ 0.001

n = 7: 0.0006356 < 0.001

最小の次数

n = 7

答え

n = 7

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