AP Calculus の練習問題：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

最適化

解き方: Q(x) を 1 変数で表し、Q′(x) = 0 を解いて、Q″ または端点を調べる
最大値: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
最小値: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
ふたのある円柱: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
利益: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

数列と級数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
無限等比級数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p 級数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比判定法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
収束半径: R = lim |c_k/c_k+1|
テイラー多項式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
マクローリン級数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ラグランジュの誤差評価: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

解き方

種類を見極めましょう：等差（一定の差）、等比（一定の比）、標準的な級数、べき級数、テイラー多項式。
和には Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)、または |r| < 1 のとき S = a₁/(1 − r) を使います。a₁ はその和の最初の項です。
収束については：まず第 n 項判定法、次に Σ1/kᵖ や等比級数との比較を行い、階乗や k 乗には比判定法か根判定法を使います。
テイラー多項式では、f(a)、f′(a)、f″(a)、… を並べ、第 k 階導関数を k! で割り、誤差を M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! で評価します。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (−x² + 5x − 8)/(x² + x + 1) を求めなさい。

f(x) = (−x² + 5x − 8)/(x² + x + 1)x → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 (e^0.5x − 1 − 0.5x)/x² を求めなさい。

f(x) = (e^0.5x − 1 − 0.5x)/x²x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = (3x + 1)⁵ とします。f′(0) を求めなさい。

f(x) = (3x + 1)⁵x = 0

f′(0) =

4.微分むずかしい

f(x) = x³ − 12x + 4 とします。極大点の x 座標 x を求めなさい。

f(x) = x³ − 12x + 4

x =

5.最適化ふつう

ふたと底のある円柱形の缶に 750 cm³ を入れなければなりません。使う金属の量は表面積の合計に比例します。材料が最も少なくなる半径 r を求めなさい。

V = 750 cm³

r = cm

6.最適化むずかしい

ある小企業は製品を 1 個あたり €50 の一定の市場価格で販売しています。q 個を生産する費用は C(q) = 800 + 24q + 0.1q² ユーロです。最大利益 P を求めなさい。

p = €50C = 800 + 24q + 0.1q²

P = €

7.積分ふつう

I = ∫₀^π/3 x·cos x dx（x はラジアン）を計算しなさい。

∫₀^π/3 x·cos x dx

I =

8.積分むずかしい

放物線 y = 1 − x² と x 軸で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。

y = 1 − x²

A =

9.微分方程式ふつう

91 °C のコーヒーを 23 °C の部屋に置いておきます。 28 分後の温度は 40 °C です。温度はニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) に従います。開始から 28 °C に達するまでの時間 t を求めなさい。

T₀ = 91 °CT_a = 23 °CT(28) = 40 °CT = 28 °C

t = min

10.微分方程式むずかしい

系が t ≥ 0 で y″ + y′ + 25.25y = 252.5 に従い、静止状態 y(0) = 0、y′(0) = 0 から始まります。ステップ応答のピーク値 y_max を求めなさい。

y″ + y′ + 25.25y = 252.5y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.数列と級数ふつう

4 つの級数のうち、ちょうど 1 つが発散します。それをクリックしてください。

A: Σ (−1)ᵏ/√kB: Σ (k + 1)/k²C: Σ 1/(k² + 4)D: Σ (3/4)ᵏ

1A: Σ (−1)ᵏ/√k
2B: Σ (k + 1)/k²
3C: Σ 1/(k² + 4)
4D: Σ (3/4)ᵏ

12.数列と級数むずかしい

f(x) = ln(1 + 2x) の 2 次のマクローリン多項式を使って、f(0.25) を近似してください。P₂(0.25) を答えてください。

f(x) = ln(1 + 2x)n = 2x = 0.25

P₂(0.25) =

3溶液

1.極限

答え: L = −1

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

最高次の累乗で割る

(−1 + 5/x + (−8)/x²)/(1 + 1/x + 1/x²)

x → ∞ とする

L = −1/1 = −1

答え

L = −1

次数が等しければ、極限は最高次の係数の比になります。

2.極限

答え: L = 0.125

1 回目の適用

(0.5·e^0.5x − 0.5)/(2x) → 0/0

2 回目の適用

0.25·e^0.5x/2

x = 0 を代入する

L = 0.25·1/2 = 0.125

答え

L = 0.125

3.微分

答え: f′(0) = 15

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

連鎖律

f′(x) = 5·(3x + 1)⁴·3

代入する

f′(0) = 5·1⁴·3 = 15

答え

f′(0) = 15

4.微分

答え: x = −2

導関数

f′(x) = 3x² − 12 = 3·(x² − 4)

f′(x) = 0 を解く

x = −2 または x = 2

どちらがどちらか

f″(x) = 6x：極大では負、極小では正。

f″(−2) = −12, f″(2) = 12

x = −2

答え

x = −2

5.最適化

答え: r = 4.924 cm

最適化：最適化したい量を、制約条件でもう一方の変数を消去して 1 変数の関数で表します。導関数をゼロとおいて解きます。その臨界点が最大か最小か（2 階導関数、または 1 階導関数の符号の変化）、また許される範囲の内側にあるかを確認します。辺の長さがゼロになるような端点は答えではありません。

r の関数としての面積

h = 750/(πr²)

A(r) = 2πr² + 1500/r

導関数をゼロとおく

A″(r) = 4π + 3000/r³ > 0 なので、これは最小です。

4πr − 1500/r² = 0 → r = ∛(750/(2π)) = 4.924 cm

高さと面積

h = 750/(π·4.924²) = 2r = 9.847 cm

A = 2π·4.924² + 1500/4.924 = 457 cm²

答え

r = 4.924 cm

最も経済的なふたつきの缶は、高さと直径が等しくなります：h = 2r。

6.最適化

答え: P = 890 €

利益関数

P(q) = 50q − (800 + 24q + 0.1q²) = −0.1q² + 26q − 800

導関数をゼロとおく

P″(q) = −0.2 < 0 なので、これは最大です。

26 − 0.2q = 0 → q = 130

最大利益

P = 26·130 − 0.1·130² − 800 = €890

答え

P = €890

7.積分

答え: I = 0.4069

部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。

u と dv を選ぶ

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

原始関数

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

極限

(π/3·sin π/3 + cos π/3) − (0 + 1) = 0.4069

答え

I = 0.4069

8.積分

答え: A = 1.333

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

零点

1 − x² = 0 → x = ±1

積分する

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333

答え

A = 1.333

9.微分方程式

答え: t = 52.72 min

1 階微分方程式：dy/dt = k·y の解は y = y₀·e^kt です（k > 0 なら増加、k < 0 なら減少）。半減期 T からは k = ln 2/T が得られます。ニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) からは T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt が得られます。線形方程式 y′ + p(x)·y = q(x) は積分因子 μ = e^{∫p dx} を使って解きます：(μy)′ = μq なので、μy = ∫μq dx + C です。

冷却定数

k = ln(68/17)/28 = 0.04951 min⁻¹

目標温度に達するまでの時間

t = ln(68/5)/0.04951 = 52.72 min

答え

t = 52.72 min

10.微分方程式

答え: y_max = 17.3

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = e^rt とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·e^rt（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 の形に書くと、ω_n は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

定常値と根

y_ss = 10, r = −0.5 ± 5j

初期値から求める定数

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −0.5A + 5B = 0 → B = −1

ピーク

t = π/5 = 0.6283

y_max = 10·(1 + e^−0.5·π/5) = 17.3

答え

y_max = 17.3

11.数列と級数

答え: B: Σ (k + 1)/k²

各級数を判定する

A: Σ (−1)ᵏ/√k → 交代級数で、1/√k が 0 に減少します：（条件）収束します。

B: Σ (k + 1)/k² → k が大きいと 1/k のようにふるまいます：調和級数との比較により発散します。

C: Σ 1/(k² + 4) → 収束する p 級数 1/k² より小さい：比較により収束します。

D: Σ (3/4)ᵏ → r = 3/4 の等比級数で |r| < 1：収束します。

答え

B: Σ (k + 1)/k²

答え

B: Σ (k + 1)/k²

12.数列と級数

答え: P₂(0.25) = 0.375

テイラー多項式：x = a の近くで、滑らかな関数は Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! で近似されます。a = 0 のときがマクローリン多項式です。標準的な級数：eˣ = Σxᵏ/k!、sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …、cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …、ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …、1/(1 − x) = Σxᵏ。ラグランジュの誤差評価：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!。ここで M は a と x の間での |f⁽ⁿ⁺¹⁾| の最大値です。

マクローリン多項式

P₂(x) = 2x − 2x²

代入する

P₂(0.25) = 0.5 − 0.125 = 0.375

答え

P₂(0.25) = 0.375

厳密な値は f(0.25) = 0.405465 です。項を増やすか、0 に近い点を取ると、誤差 0.0304651 は小さくなります。

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