微積分学 2：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

数列と級数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
無限等比級数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p 級数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比判定法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
収束半径: R = lim |c_k/c_k+1|
テイラー多項式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
マクローリン級数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ラグランジュの誤差評価: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

解き方

種類を見極めましょう：等差（一定の差）、等比（一定の比）、標準的な級数、べき級数、テイラー多項式。
和には Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)、または |r| < 1 のとき S = a₁/(1 − r) を使います。a₁ はその和の最初の項です。
収束については：まず第 n 項判定法、次に Σ1/kᵖ や等比級数との比較を行い、階乗や k 乗には比判定法か根判定法を使います。
テイラー多項式では、f(a)、f′(a)、f″(a)、… を並べ、第 k 階導関数を k! で割り、誤差を M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! で評価します。

多変数の微分積分

偏導関数: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
勾配: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
方向微分: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
接平面: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
連鎖律: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
2 階微分判定法: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
二重積分: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
極座標: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

解き方

偏導関数では、もう一方の変数を定数として扱い、1 変数の規則を使いましょう。
勾配の問題では、その点で ∇f = (f_x, f_y) を計算します。最も急な傾きには |∇f| を、方向微分には単位ベクトル u との ∇f·u を使います。
極値では f_x = 0 と f_y = 0 を同時に解き、そのあとすべての点を D = f_xx·f_yy − f_xy² で分類します。
二重積分では、領域を描き、内側の限界が境界の曲線になるように順序（円板なら極座標）を選び、内側から先に積分します。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2演習問題

1.積分ふつう

I = ∫₀¹ x·cos x dx（x はラジアン）を計算しなさい。

∫₀¹ x·cos x dx

I =

2.積分むずかしい

直線 y = 4x と放物線 y = 3x² の間の領域を x 軸のまわりに回転させます。立体の体積 V を求めなさい。

y = 4xy = 3x²

V =

3.数列と級数ふつう

和 S = Σ_k=1^∞ 3/(k(k + 1)) を求めてください。

a_k = 3/(k(k + 1))

S =

4.数列と級数むずかしい

a = 2 のまわりでの f(x) = 1/x のテイラー級数で、(x − 2)³ の係数 c₃ を求めてください。

f(x) = 1/xa = 2k = 3

c₃ =

5.多変数の微分積分ふつう

f(x, y) = 3x³y² − 5x² + 2y² + xy の (1, 2) での接平面を使って、f(0.9, 1.8) を近似してください。線形近似 L を答えてください。

f(x, y) = 3x³y² − 5x² + 2y² + xy(a, b) = (1, 2)(x, y) = (0.9, 1.8)

L =

6.多変数の微分積分むずかしい

極座標を使って、I = ∬_R √(x² + y²) dA を計算してください。R は円板 x² + y² ≤ 4 です。

f = √(x² + y²)0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ 2π

I =

7.微分方程式ふつう

88 °C のコーヒーを 24 °C の部屋に置いておきます。温度はニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) に従います。 k = 0.07 min⁻¹ として、28 分後の温度 T を求めなさい。

T₀ = 88 °CT_a = 24 °Ck = 0.07 min⁻¹t = 28 min

T = °C

8.微分方程式むずかしい

タンクに、塩 10 kg を溶かした水が 100 L 入っています。 1 L あたり 0.05 kg の塩を含む塩水が 2 L/min で流入し、よく混ざった溶液が同じ流量で流出します。タンク内の塩が 8 kg になるのは何分後 t ですか？

V = 100 Lm₀ = 10 kgc = 0.05 kg/Lr = 2 L/min

t = min

3溶液

1.積分

答え: I = 0.3818

部分積分：∫u·dv = u·v − ∫v·du。積の微分公式から導かれます。u には、微分すると簡単になるほうの因子（x のべき乗や ln x）を選び、dv には、積分できるほうの因子（eˣ、sin x、cos x、または u = ln x のときの x）を選びます。定積分では、u·v を両端で評価します：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。因子 x² があるときは 2 回行います。

u と dv を選ぶ

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

原始関数

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

極限

(1·sin 1 + cos 1) − (0 + 1) = 0.3818

答え

I = 0.3818

2.積分

答え: V = 15.89

回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。

交点

4x = 3x² → x = 0, x = 1.333

ワッシャー法

V = π∫₀^1.333 ((4x)² − (3x²)²) dx

積分する

V = π(16·1.333³/3 − 9·1.333⁵/5) = π·5.057 = 15.89

答え

V = 15.89

3.数列と級数

答え: S = 3

部分分数展開

3/(k(k + 1)) = 3·(1/k − 1/(k + 1))

キャンセル

S = 3·1 = 3

答え

S = 3

4.数列と級数

答え: c₃ = −0.0625

テイラー多項式：x = a の近くで、滑らかな関数は Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! で近似されます。a = 0 のときがマクローリン多項式です。標準的な級数：eˣ = Σxᵏ/k!、sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …、cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …、ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …、1/(1 − x) = Σxᵏ。ラグランジュの誤差評価：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!。ここで M は a と x の間での |f⁽ⁿ⁺¹⁾| の最大値です。

導関数 f⁽³⁾

f⁽³⁾(x) = −6/x⁴

係数

c₃ = −6/(2⁴·6) = −0.0625

c₃ = −0.0625

答え

c₃ = −0.0625

5.多変数の微分積分

答え: L = 10

勾配：∇f = (f_x, f_y) は最も急に増加する方向を向き、|∇f| は変化率の最大値です。方向 v に沿った方向微分は、単位ベクトル u = v/|v| を用いて D_uf = ∇f·u です。点 (a, b) での接平面は z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) で、その点の近くでの f の線形近似を与えます。連鎖律：dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt。

その点での値と傾き

f(1, 2) = 17

f_x = 9x²y² − 10x + y → f_x(1, 2) = 28

f_y = 6x³y + 4y + x → f_y(1, 2) = 21

接平面

z = 17 + 28(x − 1) + 21(y − 2)

z = 28x + 21y − 53

線形近似

L = 17 + 28·(−0.1) + 21·(−0.2) = 10

答え

L = 10

厳密な値は f = 11.13588 です。ステップが小さいので、平面は近い値になります。

6.多変数の微分積分

答え: I = 16.76

臨界点と二重積分：臨界点では f_x = f_y = 0 です。D = f_xxf_yy − f_xy² を用いた 2 階微分判定法：D > 0 かつ f_xx > 0 なら極小、D > 0 かつ f_xx < 0 なら極大、D < 0 なら鞍点、D = 0 なら何も決まりません。一般の領域上の二重積分では、内側の積分の限界を領域を囲む曲線にします。円板や扇形では極座標 x = r cos θ、y = r sin θ、dA = r dr dθ を使います（係数 r を忘れないでください）。

極形式

I = ∫₀^2π ∫₀² r·r dr dθ

積分する

∫ r·r dr = [r³/3]

I = 16.76

答え

I = 16.76

7.微分方程式

答え: T = 33.01 °C

1 階微分方程式：dy/dt = k·y の解は y = y₀·e^kt です（k > 0 なら増加、k < 0 なら減少）。半減期 T からは k = ln 2/T が得られます。ニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) からは T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt が得られます。線形方程式 y′ + p(x)·y = q(x) は積分因子 μ = e^{∫p dx} を使って解きます：(μy)′ = μq なので、μy = ∫μq dx + C です。

冷却法則の解

T(t) = 24 + 64·e^−0.07t

t を代入する

T(28) = 24 + 64·0.1409 = 33.01 °C

答え

T = 33.01 °C

8.微分方程式

答え: t = 25.54 min

結果

m(t) = 5 + 5·e^−t/50

t について解く

e^−t/50 = (5 − 8)/(5 − 10) = 0.6

t = 50·ln(1.667) = 25.54 min

答え

t = 25.54 min

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