微積分学 2：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

数列と級数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
無限等比級数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p 級数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比判定法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
収束半径: R = lim |c_k/c_k+1|
テイラー多項式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
マクローリン級数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ラグランジュの誤差評価: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

解き方

種類を見極めましょう：等差（一定の差）、等比（一定の比）、標準的な級数、べき級数、テイラー多項式。
和には Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)、または |r| < 1 のとき S = a₁/(1 − r) を使います。a₁ はその和の最初の項です。
収束については：まず第 n 項判定法、次に Σ1/kᵖ や等比級数との比較を行い、階乗や k 乗には比判定法か根判定法を使います。
テイラー多項式では、f(a)、f′(a)、f″(a)、… を並べ、第 k 階導関数を k! で割り、誤差を M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! で評価します。

多変数の微分積分

偏導関数: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
勾配: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
方向微分: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
接平面: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
連鎖律: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
2 階微分判定法: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
二重積分: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
極座標: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

解き方

偏導関数では、もう一方の変数を定数として扱い、1 変数の規則を使いましょう。
勾配の問題では、その点で ∇f = (f_x, f_y) を計算します。最も急な傾きには |∇f| を、方向微分には単位ベクトル u との ∇f·u を使います。
極値では f_x = 0 と f_y = 0 を同時に解き、そのあとすべての点を D = f_xx·f_yy − f_xy² で分類します。
二重積分では、領域を描き、内側の限界が境界の曲線になるように順序（円板なら極座標）を選び、内側から先に積分します。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2演習問題

1.積分ふつう

y = 3x の下の x = 0 から x = 2 までの領域を x 軸のまわりに回転させます。立体（円錐）の体積 V を求めなさい。

y = 3x0 ≤ x ≤ 2

V =

2.積分むずかしい

直線 y = 5x と放物線 y = 3x² の間の領域を x 軸のまわりに回転させます。立体の体積 V を求めなさい。

y = 5xy = 3x²

V =

3.数列と級数ふつう

4 つの級数のうち、ちょうど 1 つが発散します。それをクリックしてください。

A: Σ k/(k + 1)B: Σ (1/2)ᵏC: Σ (−1)ᵏ/√kD: Σ 1/(k(k + 1))

1A: Σ k/(k + 1)
2B: Σ (1/2)ᵏ
3C: Σ (−1)ᵏ/√k
4D: Σ 1/(k(k + 1))

4.数列と級数むずかしい

a = −1 のまわりでの f(x) = e^−x のテイラー級数で、(x + 1)² の係数 c₂ を求めてください。

f(x) = e^−xa = −1k = 2

c₂ =

5.多変数の微分積分ふつう

f(x, y) = −2x³y³ + 5x³ − 4y² + 4xy について、(−1, 1) での v = (−4, −4) の方向の方向微分 D_uf を求めてください。

f(x, y) = −2x³y³ + 5x³ − 4y² + 4xyP = (−1, 1)v = (−4, −4)

D_uf =

6.多変数の微分積分むずかしい

f(x, y) = x³ − 27x + y² は (3, 0) に臨界点をもちます。そこでの判別式 D = f_xxf_yy − f_xy² を計算してください。

f(x, y) = x³ − 27x + y²P = (3, 0)

D =

7.微分方程式ふつう

5 °C の缶ジュースを冷蔵庫から 23 °C の部屋に出します。 21 分後の温度は 15 °C です。温度はニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) に従います。開始から 10 °C に達するまでの時間 t を求めなさい。

T₀ = 5 °CT_a = 23 °CT(21) = 15 °CT = 10 °C

t = min

8.微分方程式むずかしい

タンクに、塩 10 kg を溶かした水が 100 L 入っています。 1 L あたり 0.25 kg の塩を含む塩水が 20 L/min で流入し、よく混ざった溶液が同じ流量で流出します。タンク内の塩が 19 kg になるのは何分後 t ですか？

V = 100 Lm₀ = 10 kgc = 0.25 kg/Lr = 20 L/min

t = min

3溶液

1.積分

答え: V = 75.4

回転体の体積：x = a から x = b までの y = f(x) の下の領域を x 軸のまわりに回転させると、x での断面が半径 f(x) の円板である立体ができます。円板を足し合わせると V = π∫ₐᵇ f(x)² dx になります。領域が外側の曲線 R(x) と内側の曲線 r(x) の間にあるときは、各スライスはワッシャー（円環）で、V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx です。引く前に半径を 2 乗しましょう。

円板法

V = π∫₀² 9x² dx

積分する

V = π·9·2³/3 = 75.4

答え

V = 75.4

確認：半径 6、高さ 2 の円錐は (1/3)πr²h = 75.4 です。

2.積分

答え: V = 48.48

交点

5x = 3x² → x = 0, x = 1.667

ワッシャー法

V = π∫₀^1.667 ((5x)² − (3x²)²) dx

積分する

V = π(25·1.667³/3 − 9·1.667⁵/5) = π·15.43 = 48.48

答え

V = 48.48

3.数列と級数

答え: A: Σ k/(k + 1)

各級数を判定する

A: Σ k/(k + 1) → 項は 0 ではなく 1 に近づきます：第 n 項判定法により発散します。

B: Σ (1/2)ᵏ → r = 1/2 の等比級数で |r| < 1：収束します。

C: Σ (−1)ᵏ/√k → 交代級数で、1/√k が 0 に減少します：（条件）収束します。

D: Σ 1/(k(k + 1)) → 1/k² より小さい：比較により収束します。

答え

A: Σ k/(k + 1)

答え

A: Σ k/(k + 1)

4.数列と級数

答え: c₂ = 1.359

テイラー多項式：x = a の近くで、滑らかな関数は Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! で近似されます。a = 0 のときがマクローリン多項式です。標準的な級数：eˣ = Σxᵏ/k!、sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …、cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …、ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …、1/(1 − x) = Σxᵏ。ラグランジュの誤差評価：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!。ここで M は a と x の間での |f⁽ⁿ⁺¹⁾| の最大値です。

導関数 f⁽²⁾

f⁽²⁾(x) = (−1)²·e^−x

係数

c₂ = (−1)²·e¹/2! = 1.359

c₂ = 1.359

答え

c₂ = 1.359

5.多変数の微分積分

答え: D_uf = −4.95

勾配：∇f = (f_x, f_y) は最も急に増加する方向を向き、|∇f| は変化率の最大値です。方向 v に沿った方向微分は、単位ベクトル u = v/|v| を用いて D_uf = ∇f·u です。点 (a, b) での接平面は z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) で、その点の近くでの f の線形近似を与えます。連鎖律：dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt。

その点での勾配

f_x = −6x²y³ + 15x² + 4y → f_x(−1, 1) = 13

f_y = −6x³y² − 8y + 4x → f_y(−1, 1) = −6

単位ベクトル

|v| = √((−4)² + (−4)²) = 5.657

u = (−0.7071, −0.7071)

内積

D_uf = 13·(−0.7071) + (−6)·(−0.7071) = −4.95

答え

D_uf = −4.95

6.多変数の微分積分

答え: D = 36

臨界点と二重積分：臨界点では f_x = f_y = 0 です。D = f_xxf_yy − f_xy² を用いた 2 階微分判定法：D > 0 かつ f_xx > 0 なら極小、D > 0 かつ f_xx < 0 なら極大、D < 0 なら鞍点、D = 0 なら何も決まりません。一般の領域上の二重積分では、内側の積分の限界を領域を囲む曲線にします。円板や扇形では極座標 x = r cos θ、y = r sin θ、dA = r dr dθ を使います（係数 r を忘れないでください）。

2 階偏導関数

f_xx = 18, f_yy = 2, f_xy = 0

判別式

D = 18·2 − 0² = 36

→ 極小

答え

D = 36

7.微分方程式

答え: t = 8.427 min

1 階微分方程式：dy/dt = k·y の解は y = y₀·e^kt です（k > 0 なら増加、k < 0 なら減少）。半減期 T からは k = ln 2/T が得られます。ニュートンの冷却法則 dT/dt = −k·(T − Tₐ) からは T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt が得られます。線形方程式 y′ + p(x)·y = q(x) は積分因子 μ = e^{∫p dx} を使って解きます：(μy)′ = μq なので、μy = ∫μq dx + C です。

冷却定数

k = ln(-18/-8)/21 = 0.03862 min⁻¹

目標温度に達するまでの時間

t = ln(-18/(−13))/0.03862 = 8.427 min

答え

t = 8.427 min

8.微分方程式

答え: t = 4.581 min

結果

m(t) = 25 + (−15)·e^−t/5

t について解く

e^−t/5 = (25 − 19)/(25 − 10) = 0.4

t = 5·ln(2.5) = 4.581 min

答え

t = 4.581 min

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