反応工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

反応速度論

1 次
ln(CA/CA0) = −kt
半減期（1 次）
t½ = ln 2/k
2 次
1/CA = 1/CA0 + kt
アレニウス
k = A·e−Ea/(RT)
2 つの温度
ln(k2/k1) = (Ea/R)(1/T1 − 1/T2)

反応器の設計（CSTR と PFR）

空間時間
τ = V/Q
CSTR、1 次反応
τ = X/(k·(1 − X)), CA = CA0/(1 + kτ)
PFR、1 次反応
τ = ln(1/(1 − X))/k, CA = CA0·e−kτ
体積から求める反応率
CSTR: X = kτ/(1 + kτ), PFR: X = 1 − e−kτ
直列につないだ N 個の等しい CSTR
X = 1 − 1/(1 + kτi)N

化学平衡

平衡定数
Kc = [C]c[D]d/([A]a[B]b)
ICE 表
初期、変化（×係数）、平衡
2 次方程式
x = (−b + √(b² − 4ac))/(2a)

解き方

  1. Kc は生成物を反応物で割った形で書き、それぞれを係数乗します。
  2. ICE 表をつくります：初期（Initial）、変化（Change、x に係数を掛けた量）、平衡（Equilibrium）。
  3. 平衡時の式を Kc に代入し、x について解きます。
  4. 近似が使えるほど x が小さいか確認します。小さくなければ 2 次方程式を解きます。

物質収支

定常状態
入量 = 出量
全体収支
ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
成分収支
ṁ1x1 + ṁ2x2 = ṁ3x3
蒸発缶
F·xF = P·xP, W = F − P

2演習問題

1.反応速度論ふつう
t (min)X (%)t = ?80%

0 次反応の k = 0.005 mol/(L·min)、初濃度は 1 mol/L である。反応率 80% に達するまでの時間はどれだけか。t を求めよ。

k = 0.005 mol/(L·min)CA0 = 1 mol/LX = 80 %
t = min
2.反応速度論むずかしい
Tk35 °C0.00260 °C?

ある反応の速度定数は 35 °C で 0.002 min⁻¹、活性化エネルギーは 55 kJ/mol である。60 °C での速度定数 k2 を求めよ。

k1 = 0.002 min⁻¹T1 = 35 °CT2 = 60 °CEa = 55 kJ/molR = 8.314 J/(mol·K)
k2 = min⁻¹
3.反応器の設計（CSTR と PFR）ふつう
QX = 85%CSTR と同じ Q、k、X

液相 1 次反応で 85% の反応率を達成しなければならない。供給速度、速度定数、反応率が同じとき、CSTR は PFR の何倍の体積が必要か。比 VCSTR/VPFR を求めよ。

X = 85%1 次反応、同じ k と Q
VCSTR/VPFR =
4.反応器の設計（CSTR と PFR）むずかしい
V = 500 LV = 500 LQ = 40 L/minX = ?

液相 1 次反応（k = 0.15 min⁻¹）を、各 500 L の等しい 2 つの CSTR を直列につないで行う。供給速度は 40 L/min、密度は一定で、反応器は定常状態にある。全体の反応率 X をパーセントで求めよ。

V = 500 L (×2)Q = 40 L/mink = 0.15 min⁻¹
X = %
5.化学平衡ふつう
H2​I2​HII0.40.40C−x−x+2xE0.4 − x0.4 − x2x

0.4 mol/L の H₂ と 0.4 mol/L の I₂ を容器に入れると、H₂ + I₂ ⇌ 2HI の反応が起こる。Kc = 25 である。平衡濃度 [H2] を求めよ。

[H₂]₀ = [I₂]₀ = 0.4 mol/LKc = 25
[H2] = mol/L
6.化学平衡むずかしい
PCl5​PCl3​Cl2​I0.200C−x+x+xE0.2 − xxx

PCl₅ は PCl₅ ⇌ PCl₃ + Cl₂ のように分解し、反応温度で Kc = 0.5 である。容器には初め 0.2 mol/L の PCl₅ だけが入っている。平衡濃度 [PCl5] を求めよ。

[PCl₅]₀ = 0.2 mol/LKc = 0.5
[PCl5] = mol/L
7.物質収支ふつう
ミキサー流れ 1550 kg/h · 40% 食塩流れ 2ṁ₂ = ? · 5% 食塩製品30% 食塩

混合後の製品が食塩を 30% 含むようにするには、流れ 1 に毎時どれだけ流れ 2 を加えればよいか。ṁ2 を求めよ。

ṁ1 = 550 kg/hx1 = 40 %x2 = 5 %x3 = 30 %
ṁ2 = kg/h
8.物質収支むずかしい
蒸発缶原料 F5000 kg/h · 14% 砂糖製品 P45% 砂糖蒸気 W（純水）W = ? kg/h

蒸発缶で純水を蒸発させ、砂糖水溶液を濃縮する。蒸発した水量 Wを kg/h で求めよ。

F = 5000 kg/hxF = 14 %xP = 45 %
W = kg/h

3溶液

1.反応速度論

答え: t = 160 min

Integrated rate laws: zero order: C = C₀ − kt (straight line, t½ = C₀/(2k)); first order: ln(C₀/C) = kt (t½ = ln 2/k); second order: 1/C − 1/C₀ = kt (t½ = 1/(kC₀)). Conversion X means C = C₀(1 − X).

反応した量

CA0·X = 1·0.8 = 0.8 mol/L

時間

t = CA0·X/k = 0.8/0.005 = 160 min

答え

t = 160 min
2.反応速度論

答え: k2 = 0.01002 min⁻¹

反応速度：1 次反応では −dC/dt = kC なので C = C₀·e−kt、半減期 ln 2/k は濃度によりません。2 次反応では 1/C = 1/C₀ + kt。速度定数はアレニウスの式に従い温度とともに増加します：k = A·e−Ea/(RT)。

絶対温度

T1 = 308.1 K, T2 = 333.1 K

アレニウスの比

ln(k2/k1) = −(55000/8.314)·(1/333.1 − 1/308.1) = 1.611
k2 = 0.002·e1.611 = 0.01002 min⁻¹

答え

k2 = 0.01002 min⁻¹
3.反応器の設計（CSTR と PFR）

答え: VCSTR/VPFR = 2.987

理想反応器、1 次反応（−rA = k·CA）の定常状態、空間時間 τ = V/Q。CSTR は完全に混合されているので、体積全体が低い出口濃度で反応します：τ = X/(k·(1 − X))、CA = CA0/(1 + k·τ)。PFR では流体の各断片が小さな回分反応器のように反応します：τ = ln(1/(1 − X))/k、CA = CA0·e−k·τ。同じ反応率では、CSTR は常に PFR より大きな体積を必要とします。

各反応器の k·τ

CSTR: k·τ = X/(1 − X) = 0.85/0.15 = 5.667
PFR: k·τ = ln(1/(1 − X)) = ln(6.667) = 1.897

体積の比

VCSTR/VPFR = 5.667/1.897 = 2.987

答え

VCSTR/VPFR = 2.987

反応率が高いと、その差は急速に大きくなります。

4.反応器の設計（CSTR と PFR）

答え: X = 87.9 %

理想反応器、1 次反応（−rA = k·CA）の定常状態、空間時間 τ = V/Q。CSTR は完全に混合されているので、体積全体が低い出口濃度で反応します：τ = X/(k·(1 − X))、CA = CA0/(1 + k·τ)。PFR では流体の各断片が小さな回分反応器のように反応します：τ = ln(1/(1 − X))/k、CA = CA0·e−k·τ。同じ反応率では、CSTR は常に PFR より大きな体積を必要とします。

空間時間

τ = V/Q = 500/40 = 12.5 min, kτ = 0.15·12.5 = 1.875

反応率

C1/CA0 = 1/(1 + kτ) = 1/(1 + 1.875) = 0.3478
C2/CA0 = 1/(1 + kτ)² = 0.121
X = 1 − 0.121 = 87.9%

答え

X = 87.9%
5.化学平衡

答え: [H2] = 0.1143 mol/L

化学平衡：aA + bB ⇌ cC + dD に対して、平衡定数は Kc = [C]c[D]d/([A]a[B]b) で、平衡時の濃度を使います。ICE 表（初期・変化・平衡）は、係数倍した 1 つの未知数 x を通して、初めの量と平衡時の量を結びつけます。

平衡の式

25 = (2x)²/(0.4 − x)²

平方根をとる

5 = 2x/(0.4 − x) → x = 0.4·5/(2 + 5) = 0.2857 mol/L

平衡濃度

[H₂] = 0.4 − x = 0.1143 mol/L

答え

[H2] = 0.1143 mol/L
6.化学平衡

答え: [PCl5] = 0.04689 mol/L

化学平衡：aA + bB ⇌ cC + dD に対して、平衡定数は Kc = [C]c[D]d/([A]a[B]b) で、平衡時の濃度を使います。ICE 表（初期・変化・平衡）は、係数倍した 1 つの未知数 x を通して、初めの量と平衡時の量を結びつけます。

平衡の式

0.5 = x²/(0.2 − x) → x² + 0.5·x − 0.1 = 0

2 次方程式を解く

x = (−0.5 + √(0.5² + 4·0.1))/2 = 0.1531 mol/L

平衡濃度

[PCl₅] = 0.2 − 0.1531 = 0.04689 mol/L

答え

[PCl5] = 0.04689 mol/L
7.物質収支

答え: ṁ2 = 220 kg/h

定常状態の物質収支：全体と各成分で入量 = 出量。混合の問題では両方を組み合わせます。

収支

Total: ṁ3 = ṁ1 + ṁ2
食塩: ṁ1x1 + ṁ2x2 = (ṁ1 + ṁ2)x3

ṁ2 について解く

ṁ2 = ṁ1(x1 − x3)/(x3 − x2) = 550·(40 − 30)/(30 − 5) = 220 kg/h

答え

ṁ2 = 220 kg/h
8.物質収支

答え: W = 3444 kg/h

タイ成分：1 つの流れだけを変化せずに通る成分（ここでは溶質）は、流量どうしを直接結びつけます。残りは全体収支で求まります。

溶質収支

F·xF = P·xP → P = 5000·14/45 = 1556 kg/h

全体収支

W = F − P = 5000 − 1556 = 3444 kg/h

答え

W = 3444 kg/h

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