反応速度論
- 1 次
- ln(CA/CA0) = −kt
- 半減期（1 次）
- t½ = ln 2/k
- 2 次
- 1/CA = 1/CA0 + kt
- アレニウス
- k = A·e−Ea/(RT)
- 2 つの温度
- ln(k2/k1) = (Ea/R)(1/T1 − 1/T2)
反応工学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
反応器の設計（CSTR と PFR）
- 空間時間
- τ = V/Q
- CSTR、1 次反応
- τ = X/(k·(1 − X)), CA = CA0/(1 + kτ)
- PFR、1 次反応
- τ = ln(1/(1 − X))/k, CA = CA0·e−kτ
- 体積から求める反応率
- CSTR: X = kτ/(1 + kτ), PFR: X = 1 − e−kτ
- 直列につないだ N 個の等しい CSTR
- X = 1 − 1/(1 + kτi)N
化学平衡
- 平衡定数
- Kc = [C]c[D]d/([A]a[B]b)
- ICE 表
- 初期、変化（×係数）、平衡
- 2 次方程式
- x = (−b + √(b² − 4ac))/(2a)
解き方
- Kc は生成物を反応物で割った形で書き、それぞれを係数乗します。
- ICE 表をつくります：初期（Initial）、変化（Change、x に係数を掛けた量）、平衡（Equilibrium）。
- 平衡時の式を Kc に代入し、x について解きます。
- 近似が使えるほど x が小さいか確認します。小さくなければ 2 次方程式を解きます。
物質収支
- 定常状態
- 入量 = 出量
- 全体収支
- ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
- 成分収支
- ṁ1x1 + ṁ2x2 = ṁ3x3
- 蒸発缶
- F·xF = P·xP, W = F − P
2演習問題
1.反応速度論ふつう
回分反応器での 2 次反応（−rA = k·CA²）の k = 0.8 L/(mol·min)、初濃度は 0.5 mol/L である。反応率 95% に達するまでの時間はどれだけか。t を求めよ。
k = 0.8 L/(mol·min)CA0 = 0.5 mol/LX = 95 %
t = min
2.反応速度論むずかしい
ある反応の活性化エネルギーは 75 kJ/mol である。50 °C では反応が遅すぎる。反応を 5 倍速くするには何 °C の温度 T2 まで加熱しなければならないか。
Ea = 75 kJ/molT1 = 50 °Ck2/k1 = 5R = 8.314 J/(mol·K)
T2 = °C
3.反応器の設計（CSTR と PFR）ふつう
液相 1 次反応で 90% の反応率を達成しなければならない。供給速度、速度定数、反応率が同じとき、CSTR は PFR の何倍の体積が必要か。比 VCSTR/VPFR を求めよ。
X = 90%1 次反応、同じ k と Q
VCSTR/VPFR =
4.反応器の設計（CSTR と PFR）むずかしい
液相 1 次反応（k = 0.25 min⁻¹）を、20 L/min で供給される 50 L の押出し流れ反応器（PFR）で行う。密度は一定で、反応器は定常状態にある。反応率 X をパーセントで求めよ。
V = 50 LQ = 20 L/mink = 0.25 min⁻¹
X = %
5.化学平衡ふつう
1 mol/L の H₂ と 1 mol/L の I₂ を容器に入れると、H₂ + I₂ ⇌ 2HI の反応が起こる。Kc = 9 である。平衡濃度 [H2] を求めよ。
[H₂]₀ = [I₂]₀ = 1 mol/LKc = 9
[H2] = mol/L
6.化学平衡むずかしい
PCl₅ は PCl₅ ⇌ PCl₃ + Cl₂ のように分解し、反応温度で Kc = 0.2 である。容器には初め 1 mol/L の PCl₅ だけが入っている。平衡濃度 [PCl5] を求めよ。
[PCl₅]₀ = 1 mol/LKc = 0.2
[PCl5] = mol/L
7.物質収支ふつう
混合後の製品が食塩を 35% 含むようにするには、流れ 1 に毎時どれだけ流れ 2 を加えればよいか。ṁ2 を求めよ。
ṁ1 = 250 kg/hx1 = 15 %x2 = 45 %x3 = 35 %
ṁ2 = kg/h
8.物質収支むずかしい
蒸発缶で純水を蒸発させ、NaOH水溶液を濃縮する。製品流量 Pを kg/h で求めよ。
F = 1900 kg/hxF = 9 %xP = 60 %
P = kg/h
3溶液
1.反応速度論
答え: t = 47.5 min
Integrated rate laws: zero order: C = C₀ − kt (straight line, t½ = C₀/(2k)); first order: ln(C₀/C) = kt (t½ = ln 2/k); second order: 1/C − 1/C₀ = kt (t½ = 1/(kC₀)). Conversion X means C = C₀(1 − X).
最終的な濃度
CA = 0.5·(1 − 0.95) = 0.025 mol/L
2 次の積分形速度式
t = (1/CA − 1/CA0)/k = (40 − 2)/0.8 = 47.5 min
答え
t = 47.5 min
2.反応速度論
答え: T2 = 69.77 °C
Reaction rates: for a first-order reaction −dC/dt = kC, so C = C₀·e−kt and the half-life ln 2/k does not depend on concentration. For a second-order reaction 1/C = 1/C₀ + kt. The rate constant rises with temperature following Arrhenius: k = A·e−Ea/(RT).
絶対温度
T1 = 323.1 K
アレニウスの式を T₂ について解く
1/T2 = 1/323.1 − 8.314·ln(5)/75000 = 3.095 × 10⁻³ − 1.784 × 10⁻⁴ = 2.916 × 10⁻³ K⁻¹
T2 = 342.9 K = 69.77 °C
答え
T2 = 69.77 °C
3.反応器の設計（CSTR と PFR）
答え: VCSTR/VPFR = 3.909
理想反応器、1 次反応（−rA = k·CA）の定常状態、空間時間 τ = V/Q。CSTR は完全に混合されているので、体積全体が低い出口濃度で反応します：τ = X/(k·(1 − X))、CA = CA0/(1 + k·τ)。PFR では流体の各断片が小さな回分反応器のように反応します：τ = ln(1/(1 − X))/k、CA = CA0·e−k·τ。同じ反応率では、CSTR は常に PFR より大きな体積を必要とします。
各反応器の k·τ
CSTR: k·τ = X/(1 − X) = 0.9/0.1 = 9
PFR: k·τ = ln(1/(1 − X)) = ln(10) = 2.303
体積の比
VCSTR/VPFR = 9/2.303 = 3.909
答え
VCSTR/VPFR = 3.909
反応率が高いと、その差は急速に大きくなります。
4.反応器の設計（CSTR と PFR）
答え: X = 46.47 %
理想反応器、1 次反応（−rA = k·CA）の定常状態、空間時間 τ = V/Q。CSTR は完全に混合されているので、体積全体が低い出口濃度で反応します：τ = X/(k·(1 − X))、CA = CA0/(1 + k·τ)。PFR では流体の各断片が小さな回分反応器のように反応します：τ = ln(1/(1 − X))/k、CA = CA0·e−k·τ。同じ反応率では、CSTR は常に PFR より大きな体積を必要とします。
空間時間
τ = V/Q = 50/20 = 2.5 min, kτ = 0.25·2.5 = 0.625
反応率
X = 1 − e−kτ = 1 − e−0.625 = 46.47%
答え
X = 46.47%
5.化学平衡
答え: [H2] = 0.4 mol/L
化学平衡：aA + bB ⇌ cC + dD に対して、平衡定数は Kc = [C]c[D]d/([A]a[B]b) で、平衡時の濃度を使います。ICE 表（初期・変化・平衡）は、係数倍した 1 つの未知数 x を通して、初めの量と平衡時の量を結びつけます。
平衡の式
9 = (2x)²/(1 − x)²
平方根をとる
3 = 2x/(1 − x) → x = 1·3/(2 + 3) = 0.6 mol/L
平衡濃度
[H₂] = 1 − x = 0.4 mol/L
答え
[H2] = 0.4 mol/L
6.化学平衡
答え: [PCl5] = 0.6417 mol/L
化学平衡：aA + bB ⇌ cC + dD に対して、平衡定数は Kc = [C]c[D]d/([A]a[B]b) で、平衡時の濃度を使います。ICE 表（初期・変化・平衡）は、係数倍した 1 つの未知数 x を通して、初めの量と平衡時の量を結びつけます。
平衡の式
0.2 = x²/(1 − x) → x² + 0.2·x − 0.2 = 0
2 次方程式を解く
x = (−0.2 + √(0.2² + 4·0.2))/2 = 0.3583 mol/L
平衡濃度
[PCl₅] = 1 − 0.3583 = 0.6417 mol/L
答え
[PCl5] = 0.6417 mol/L
7.物質収支
答え: ṁ2 = 500 kg/h
定常状態の物質収支：全体と各成分で入量 = 出量。混合の問題では両方を組み合わせます。
収支
Total: ṁ3 = ṁ1 + ṁ2
食塩: ṁ1x1 + ṁ2x2 = (ṁ1 + ṁ2)x3
ṁ2 について解く
ṁ2 = ṁ1(x1 − x3)/(x3 − x2) = 250·(15 − 35)/(35 − 45) = 500 kg/h
答え
ṁ2 = 500 kg/h
8.物質収支
答え: P = 285 kg/h
タイ成分：1 つの流れだけを変化せずに通る成分（ここでは溶質）は、流量どうしを直接結びつけます。残りは全体収支で求まります。
溶質収支
F·xF = P·xP → P = 1900·9/60 = 285 kg/h
答え
P = 285 kg/h
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