コンピュータサイエンス基礎：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記数法

位取り: 2 進数 2^k、8 進数 8^k、16 進数 16^k
10 進数へ: Σ d_k·b^k
10 進数から: 基数で割り、余りを下から上へ読む
16 進数 ↔ 2 進数: 16 進数 1 桁 = 4 ビット
2 の補数: ビットを反転して 1 を足す

命題論理と証明

真理値表の行: 2ⁿ
含意: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
含意の否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
同値（双条件）: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
ド・モルガンの法則: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配法則: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量化子の否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定式（modus ponens）、否定式（modus tollens）: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

解き方

異なる変数の数を数えます：真理値表の行数は 2ⁿ で、最初の行はすべて 1 です。
部分式ごとに列を用意し、内側から順に列を埋めていきます。
各結合子の規則を適用します：→ が 0 になるのは 1 → 0 のときだけ、↔ は両辺が一致するとき 1 です。
同値の判定では最後の列を行ごとに比べます。論証の判定では、すべての前提が 1 である行だけを見ます。
量化された文を否定するには、¬ を内側へ移し、∀ と ∃ を入れ替え、内側の式を否定します。

デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

基本ゲート: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
ブールの規則: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
ド・モルガンの法則: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
カルノー図の並び順: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ 個のセルのグループ: k 個の変数が消える
4 対 1 マルチプレクサ: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
フリップフロップ: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
カウンタ: n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； f_out = f_clk/N
リップルカウンタ: f_max = 1/(n·t_pd)
リングカウンタとジョンソンカウンタ: n 状態と 2n 状態

解き方

回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。

整数論と合同式

余りのある割り算: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ユークリッド: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆行列: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
一次合同式: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
オイラーのトーシェント関数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
フェルマー: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

解き方

まずすべての数を n で割った余りに直します。余りは 0 から n − 1 の間です。
最大公約数は、ユークリッドの互除法で割り算を繰り返して求めます。最後の 0 でない余りが最大公約数です。
逆元は拡張ユークリッドの互除法で求め、a の係数を取ります。負なら n を足します。
a·x ≡ b は a⁻¹ を掛けて解きます。2 つの合同式は x = r₁ + m₁k とおいて組み合わせます。
べき乗では、指数を 2 進数で書いて平方を繰り返します。RSA では d = e⁻¹ mod φ(n)、φ(n) = (p − 1)(q − 1) です。

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

IPv4 サブネット化

サブネットあたりのホスト数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ブロックサイズ: 256 − (mask octet)
ネットワークアドレス: IP AND マスク
ブロードキャストアドレス: IP OR (NOT マスク)：ホスト部のビットをすべて 1 にする
n ビット借りたときのサブネット数: 2ⁿ

2演習問題

1.記数法ふつう

−12 を 8 ビットの 2 の補数パターンで表しなさい。そのパターンを符号なし 2 進数として読むと、10 進数での値 U はいくつですか？

N = −128 bit

U =

2.記数法むずかしい

ビットを 1000 0001 XOR 0111 1001 の 8 ビットの結果に設定します。結果の値 R は 10 進でいくつですか？

1000 0001XOR0111 1001

R =

3.命題論理と証明ふつう

r → p と論理的に同値な論理式はどれですか？クリックしてください。

r → p

1¬p → ¬r
2¬p ∧ ¬r
3¬r → ¬p
4p → r

4.命題論理と証明むずかしい

真理値表の 16 行のうち、((¬a ∧ c) ↔ ¬d) ↔ ((b ↔ ¬c) → ¬d) が真になるのは何行ですか？この数を N とします。

((¬a ∧ c) ↔ ¬d) ↔ ((b ↔ ¬c) → ¬d)

N =

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう

カルノー図を使って F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15) の最小の積和形（SOP）を求めてください。積項 N はいくつありますか？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15)

N =

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい

同期式十進（mod-10）カウンタは 0, 1, …, 9 と数えて 0 に戻ります。初期値は 0 です。14 クロックパルスのあとの計数値 Q（10 進数）はいくつですか？

Q₀ = 014N = 10

Q =

7.整数論と合同式ふつう

67 を法とする 27 の逆元を求めてください：0 < x < 67 かつ 27·x ≡ 1 (mod 67) を満たす数 x です。

a = 27n = 67

27⁻¹ mod 67 =

8.整数論と合同式むずかしい

メッセージ m = 1622 を RSA 公開鍵 (n, e) = (1927, 7) で暗号化してください。暗号文 c を求めてください。

n = 1927e = 7m = 1622

c =

9.アルゴリズムと計算量ふつう

O(n²) のアルゴリズムは O(n³) でもあると言うのは正しいですか？

Aいいえ。n が大きいとき n³ は n² より小さいから
Bいいえ。Big O は常に関数の正確な増加率を述べなければならないから
Cはい。ただし n が 100 より小さい場合に限る
Dはい。Big O は上界であり、n² は n³ より速く増加しないから

10.アルゴリズムと計算量むずかしい

シュトラッセンのアルゴリズムは、半分のサイズのブロックの再帰的な掛け算を 8 回ではなく 7 回にして行列を掛けます。実行時間は何ですか？

AΘ(n²)
BΘ(n³)
CΘ(n² log n)
DΘ(n^{log₂ 7})、約 n^2.81

11.データ構造ふつう

無向グラフの隣接行列について正しいのはどれですか。

A常に上三角行列である
B各行にちょうど 1 つの 1 がある
C主対角線に関して対称である
D主対角線には常に 1 が入っている

12.データ構造むずかしい

二分探索木から 2 つの子を持つノードを削除するには、通常どうしますか。

A根と入れ替える
B中間順の後続ノード（または先行ノード）で置き換え、そのノードを削除する
Cその下の部分木を一から作り直し、含まれていたすべてのキーを挿入し直す
D部分木全体を削除する

13.グラフ理論ふつう

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？答えをクリックしてください。

|V| = 7|E| = 9

1オイラー閉路
2オイラー路あり、閉路なし
3どちらでもない

14.グラフ理論むずかしい

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F

d(F) =

15.データベースと SQLふつう

ある列に値 10、20、NULL が入っています。AVG(col) は何を返しますか？

ANULL
B10
C15
D30

16.データベースと SQLむずかしい

SELECT day, SUM(amount) OVER (ORDER BY day) FROM sales は何を計算しますか？

Aday の順に並べた amount の累計
Bその日の合計だけを持つ、1 日 1 行
C1 日あたりの平均 amount
Dすべての行に全 amount の合計

17.コンピュータネットワークふつう

ホストにおけるデフォルトゲートウェイの役割は何ですか？

A他のネットワーク宛てのトラフィックに使われるルーターである
BDNS サーバーである
Cホストが接続されているスイッチのポートである
DMAC アドレスを割り当てる

18.コンピュータネットワークむずかしい

8 ポートのスイッチ（VLAN なし）の各ポートに 1 台ずつホストがあります。コリジョンドメインとブロードキャストドメインはいくつありますか？

Aコリジョンドメイン 1、ブロードキャストドメイン 1
Bコリジョンドメイン 8、ブロードキャストドメイン 1
Cコリジョンドメイン 8、ブロードキャストドメイン 8
Dコリジョンドメイン 1、ブロードキャストドメイン 8

19.IPv4 サブネット化ふつう

ネットワーク 192.168.10.0/24 を、少なくとも 16 個の同じ大きさのサブネットに分けます。借りるビットをできるだけ少なくすると、各サブネットで使えるホスト数 H はいくつですか？

192.168.10.0/2416 subnets

H =

20.IPv4 サブネット化むずかしい

ネットワーク 192.168.196.0/24 を、次の LAN 用に VLSM で分割します：A: 4 ホスト, B: 14 ホスト, C: 36 ホスト, D: 94 ホスト。サブネットは .0 から順に、ホスト数が最も多い LAN から、収まる最小のサブネットで割り当てます。LAN C のネットワークアドレスの第 4 オクテット x はいくつですか？

A: 4B: 14C: 36D: 94

x =

3溶液

1.記数法

答え: U = 244

位取り記数法：各桁の値は、その数字に基数のべき乗を掛けたものです。2 進数では各桁の重みが 1、2、4、8、16、…、16 進数では 1、16、256、… で、A–F は 10–15 を表します。8 ビットの 2 の補数では、最上位ビットの重みが +128 ではなく −128 になり、こうして負の数を表します。

反転して 1 を足す

12 = 0000 1100

反転後: 1111 0011

+1 → 1111 0100

符号なしとして読む

1111 0100₂ = 256 − 12 = 244

答え

U = 244

2.記数法

答え: R = 248

ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。

ビットごとに

XOR は、2 つのビットが異なるところで 1 になります。

1000 0001

XOR 0111 1001

= 1111 1000

結果の値

1111 1000₂ = 248

答え

R = 248

3.命題論理と証明

答え: ¬p → ¬r

論理的同値：2 つの論理式は、真理値表のすべての行で同じ値をとるとき同値（≡）です。恒真式（トートロジー）はすべての行で 1、矛盾（恒偽式）はすべての行で 0、どちらでもないものは充足可能な非恒真式です。役に立つ法則：ド・モルガンの法則 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b と ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b、a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（対偶）、¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b、そして分配法則 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

法則

含意は、その対偶 ¬b → ¬a と同値であり、逆 b → a や裏 ¬a → ¬b とは同値ではありません。

r → p ≡ ¬p → ¬r

真理値表で確かめる

p = 1, r = 1: 1 | 1 0 1 1

p = 1, r = 0: 1 | 1 0 0 0

p = 0, r = 1: 0 | 0 0 1 1

p = 0, r = 0: 1 | 1 1 1 1

答え

¬p → ¬r

縦線の後ろの列は、表示されている順の選択肢です。

4.命題論理と証明

答え: N = 6

真理値表：n 個の異なる変数をもつ論理式には、真理値のすべての組み合わせに対応する 2ⁿ 行があります（1 = 真、0 = 偽）。内側から順に進め、部分式ごとに列を用意します。¬a は値を反転させ、a ∧ b は両方が 1 のときだけ 1、a ∨ b は両方が 0 のときだけ 0、a → b は a = 1 かつ b = 0 のときだけ 0、a ↔ b は両辺が等しいとき 1 です。

列

¬a; ¬a ∧ c; ¬d; (¬a ∧ c) ↔ ¬d; ¬c; b ↔ ¬c; (b ↔ ¬c) → ¬d; ((¬a ∧ c) ↔ ¬d) ↔ ((b ↔ ¬c) → ¬d)

a で分ける

a = 1: 2

a = 0: 4

N = 2 + 4 = 6

答え

N = 6

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 4

カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。

1 をグループ化する

各グループは 2ᵏ 個のセルからなる長方形です。端のセルは、反対側の端のセルと隣り合っています。

C′D′

B′D′

AC′

最小の SOP 形

F = C′D′ + B′D′ + BD + AC′

N = 4

答え

N = 4

同じ大きさの別のグループ分けもあります。項の数もリテラルの数も同じです。

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: Q = 4

フリップフロップとカウンタ：フリップフロップは、有効なクロックエッジでだけ変化します。D は入力をコピーし（Q⁺ = D）、T は T = 1 のときトグルし、JK は 00 で保持、01 でリセット、10 でセット、11 でトグルします。n ビットの 2 進カウンタには 2ⁿ 個の状態があり、2ⁿ を法として数えます。mod-N カウンタは 0, 1, …, N − 1 と数えて 0 に戻り、2ⁿ ≥ N を満たす最小の n 個のフリップフロップが必要です。リップルカウンタの各段は周波数を半分にするので、mod-N カウンタの最後の出力は f_clk/N で動作します。n 個のフリップフロップのジョンソンカウンタには 2n 個の状態があり、リングカウンタには n 個あります。

完全な周期

10 パルスごとに、カウンタは同じ状態に戻ります。

14 = 1·10 + 4

残りのパルスのあとの計数値

Q = (0 + 4) mod 10 = 4

Q = 0100₂

答え

Q = 4

7.整数論と合同式

答え: 27⁻¹ mod 67 = 5

逆元と合同式：a が n を法として逆元をもつのは、gcd(a, n) = 1 のときに限ります。拡張ユークリッドの互除法で 1 = s·n + t·a と書くと、a⁻¹ ≡ t (mod n) です。gcd(a, n) = 1 のとき、合同式 a·x ≡ b (mod n) の解は x ≡ a⁻¹·b です。法が互いに素な 2 つの合同式 x ≡ r₁ (mod m₁) と x ≡ r₂ (mod m₂) には、m₁·m₂ を法として 1 つの解があります（中国の剰余定理）。オイラーの φ(n) は、1 から n までの数のうち n と互いに素なものの個数です：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

拡張ユークリッドの互除法

各余り r は r ≡ t·27 (mod 67) と書けます。

r = 67, t = 0

r = 27, q = 2, t = 1

r = 13, q = 2, t = −2

r = 1, q = 13, t = 5

逆行列

1 ≡ 5·27 (mod 67)

x = 5

確認: 27·5 = 135 = 2·67 + 1

答え

27⁻¹ mod 67 = 5

8.整数論と合同式

答え: c = 1193

冪剰余と RSA：aᵏ mod n は反復二乗法で計算します：k を 2 進数で書き、二乗し、毎回簡約し、ビットが 1 の冪を掛けます。フェルマー：素数 p が a を割り切らないとき aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) なので、指数は p − 1 を法として簡約できます。RSA：素数 p と q を選び、n = p·q、φ(n) = (p − 1)(q − 1) とします。公開指数 e は φ(n) と互いに素で、秘密指数は d = e⁻¹ mod φ(n) です。暗号化は c = mᵉ mod n、復号は m = cᵈ mod n で行います。

反復二乗法

7 = 4 + 2 + 1

1622¹ ≡ 1622 (mod 1927)

B · 中間順の後続ノード（または先行ノード）で置き換え、そのノードを削除する

13.グラフ理論

答え: オイラー路あり、閉路なし

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、K_n には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 2

奇数次数の頂点

B, E → 2

オイラー路あり、閉路なし

答え

オイラー路あり、閉路なし

オイラー路は、一方の奇数次数の頂点から始まり、他方で終わります。

14.グラフ理論

答え: d(F) = 9

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 9, C: 2

C (2): E: 6, G: 5

G (5): D: 17

E (6): D: 7, F: 9

D (7)

B (9)

F (9)

最短経路

A → C → E → F

借りるビット数

2⁴ = 16 ≥ 16 → b = 4, /28

サブネットあたりのホスト数

2⁴ − 2 = 14

答え

H = 14

20.IPv4 サブネット化

答え: x = 128

VLSM：各 LAN には 2ʰ − 2 ≥ ホスト数となる最小のサブネット、つまりプレフィックス 32 − h を割り当てます。大きいサブネットから割り当てると、各ブロックは自身のサイズの倍数にそろうので、ネットワークアドレスはブロックサイズを足し合わせて求まります。

LAN ごとのブロックサイズ

D: 94 ホスト → 2⁷ = 128 (/25)

C: 36 ホスト → 2⁶ = 64 (/26)

B: 14 ホスト → 2⁴ = 16 (/28)

A: 4 ホスト → 2³ = 8 (/29)

割り当て（大きい順）

D: .0 – .127

C: .128 – .191

B: .192 – .207

A: .208 – .215

答え

x = 128

LAN C：192.168.196.128/26。

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