コンピュータサイエンス基礎：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記数法

位取り: 2 進数 2^k、8 進数 8^k、16 進数 16^k
10 進数へ: Σ d_k·b^k
10 進数から: 基数で割り、余りを下から上へ読む
16 進数 ↔ 2 進数: 16 進数 1 桁 = 4 ビット
2 の補数: ビットを反転して 1 を足す

命題論理と証明

真理値表の行: 2ⁿ
含意: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
含意の否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
同値（双条件）: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
ド・モルガンの法則: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配法則: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量化子の否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定式（modus ponens）、否定式（modus tollens）: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

解き方

異なる変数の数を数えます：真理値表の行数は 2ⁿ で、最初の行はすべて 1 です。
部分式ごとに列を用意し、内側から順に列を埋めていきます。
各結合子の規則を適用します：→ が 0 になるのは 1 → 0 のときだけ、↔ は両辺が一致するとき 1 です。
同値の判定では最後の列を行ごとに比べます。論証の判定では、すべての前提が 1 である行だけを見ます。
量化された文を否定するには、¬ を内側へ移し、∀ と ∃ を入れ替え、内側の式を否定します。

デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

基本ゲート: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
ブールの規則: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
ド・モルガンの法則: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
カルノー図の並び順: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ 個のセルのグループ: k 個の変数が消える
4 対 1 マルチプレクサ: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
フリップフロップ: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
カウンタ: n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； f_out = f_clk/N
リップルカウンタ: f_max = 1/(n·t_pd)
リングカウンタとジョンソンカウンタ: n 状態と 2n 状態

解き方

回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。

整数論と合同式

余りのある割り算: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ユークリッド: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆行列: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
一次合同式: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
オイラーのトーシェント関数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
フェルマー: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

解き方

まずすべての数を n で割った余りに直します。余りは 0 から n − 1 の間です。
最大公約数は、ユークリッドの互除法で割り算を繰り返して求めます。最後の 0 でない余りが最大公約数です。
逆元は拡張ユークリッドの互除法で求め、a の係数を取ります。負なら n を足します。
a·x ≡ b は a⁻¹ を掛けて解きます。2 つの合同式は x = r₁ + m₁k とおいて組み合わせます。
べき乗では、指数を 2 進数で書いて平方を繰り返します。RSA では d = e⁻¹ mod φ(n)、φ(n) = (p − 1)(q − 1) です。

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

IPv4 サブネット化

サブネットあたりのホスト数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ブロックサイズ: 256 − (mask octet)
ネットワークアドレス: IP AND マスク
ブロードキャストアドレス: IP OR (NOT マスク)：ホスト部のビットをすべて 1 にする
n ビット借りたときのサブネット数: 2ⁿ

2演習問題

1.記数法ふつう

8 ビットのパターン 1100 1110 は、符号付き整数を 2 の補数で表しています。10 進数での値 N はいくつですか？

1100 11108 bit

N =

2.記数法むずかしい

あるシステムで、3762 個の項目それぞれに同じ長さの固有の 2 進コードを割り当てます。必要なビット数 b は最小でいくつですか？

3762

b = bit

3.命題論理と証明ふつう

¬(a ∧ b) と論理的に同値な論理式はどれですか？クリックしてください。

¬(a ∧ b)

1¬a ∨ ¬b
2¬a ∨ b
3¬a ∧ ¬b
4¬a ∧ b

4.命題論理と証明むずかしい

真理値表の 16 行のうち、¬((p ∨ s) → ¬(s ↔ ¬r)) ↔ (p ↔ (q ∨ r)) が真になるのは何行ですか？この数を N とします。

¬((p ∨ s) → ¬(s ↔ ¬r)) ↔ (p ↔ (q ∨ r))

N =

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう

カルノー図を使って F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 6, 11, 12, 14, 15) の最小の積和形（SOP）を求めてください。リテラル L は合計でいくつ含まれますか（プライム付きの変数も 1 つのリテラルと数えます）？

F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 6, 11, 12, 14, 15)

L =

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい

d はドントケア条件を表します。F(A, B, C, D) = Σm(1, 4, 8, 15) + d(0, 12, 13, 14) の最小の SOP 形を求めてください。積項 N はいくつありますか？

F(A, B, C, D) = Σm(1, 4, 8, 15) + d(0, 12, 13, 14)

N =

7.整数論と合同式ふつう

22x ≡ 46 (mod 53) を解いてください。0 < x < 53 を満たす解 x を答えてください。

22x ≡ 46 (mod 53)

x =

8.整数論と合同式むずかしい

9x ≡ 21 (mod 60) を解いてください。最小の正の解 x を答えてください。

9x ≡ 21 (mod 60)

x =

9.アルゴリズムと計算量ふつう

漸化式 T(n) = 2T(n/2) + O(1) の解は何ですか？

AO(n)
BO(n log n)
CO(n²)
DO(log n)

10.アルゴリズムと計算量むずかしい

ベルマン－フォード法は、始点から到達可能な負の重みの閉路をどのように検出しますか？

A負の重みをもつ辺があるかどうかを調べる
BV − 1 回のラウンドの後、まだ緩和できる辺があるかどうかを調べる
Cダイクストラ法を 2 回実行し、2 つの距離の結果を比べる
D深さ優先探索で閉路を数える

11.データ構造ふつう

後置記法の式 3 4 + 2 * の値は何ですか。

12.データ構造むずかしい

O(1) の追加メモリで、単方向連結リストが閉路を含むかどうかを検出するにはどうすればよいですか。

A一方のポインタを 1 歩ずつ、もう一方を 2 歩ずつ進め、出会うかどうかを調べる
B数がリストの長さのフィールドを超えるまでノードを数える
Cリストをソートして重複を探す
D訪問したすべてのノードをハッシュ集合に格納する

13.グラフ理論ふつう

連結グラフに 18 個の頂点と 25 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 18|E| = 25

k =

14.グラフ理論むずかしい

ダイクストラ法を A から実行します。ラウンド 3 で確定する（永続になる）頂点をクリックしてください。A 自身がラウンド 1 です。

始点：Aラウンド 3

15.データベースと SQLふつう

SQL におけるビュー（view）とは次のうちどれですか？

Aテーブルを閲覧するためのデータベースクライアントの画面
B仮想テーブルのように振る舞う保存されたクエリ
Cインデックスの一種
Dディスク上のテーブルのコピー

16.データベースと SQLむずかしい

各パーティション内の行に、同順位なしで 1, 2, 3, ... を割り当てるウィンドウ関数はどれですか？

ACOUNT()
BDENSE_RANK()
CRANK()
DROW_NUMBER()

17.コンピュータネットワークふつう

Wi-Fi が衝突検出ではなく衝突回避（CSMA/CA）を使うのはなぜですか？

A無線の端末は送信中に衝突を確実に検出できないから
BWi-Fi では 1 つのネットワークに 1 台のデバイスしか許されないから
C無線信号は決して衝突しないから
D衝突検出は光ファイバーケーブルでしか機能せず、共有の無線チャネルでは機能しないから

18.コンピュータネットワークむずかしい

ある学生が自宅の NAT ルーターの内側の PC でゲームサーバーを動かしています。インターネット上の友人が接続できません。通常の解決策は何ですか？

Aルーターが外部から見つけられるよう、PC に別の MAC アドレスを与える
BPC のサブネットマスクを /32 に変える
CPC の DNS クライアントを無効にする
Dルーターで PC のプライベートアドレスへのポートフォワーディングを設定する

19.IPv4 サブネット化ふつう

ネットワーク 10.208.240.0/20 を、プレフィックス /26 の等しいサブネットに分割します。サブネットはいくつ N ありますか？

10.208.240.0/20/26

N =

20.IPv4 サブネット化むずかしい

あるホストのアドレスは 10.20.231.59/26 です。そのサブネットで最後に使えるホストアドレスの第 4 オクテット x はいくつですか？

10.20.231.59/26

x =

3溶液

1.記数法

答え: N = −50

位取り記数法：各桁の値は、その数字に基数のべき乗を掛けたものです。2 進数では各桁の重みが 1、2、4、8、16、…、16 進数では 1、16、256、… で、A–F は 10–15 を表します。8 ビットの 2 の補数では、最上位ビットの重みが +128 ではなく −128 になり、こうして負の数を表します。

重みを合計する

ほかのビットは通常の正の重みのままです。

−128 + 64 + 8 + 4 + 2 = −50

答え

N = −50

2.記数法

答え: b = 12 bit

2 のべき乗

2¹¹ = 2048 < 3762

2¹² = 4096 ≥ 3762

答え

b = 12

3.命題論理と証明

答え: ¬a ∨ ¬b

論理的同値：2 つの論理式は、真理値表のすべての行で同じ値をとるとき同値（≡）です。恒真式（トートロジー）はすべての行で 1、矛盾（恒偽式）はすべての行で 0、どちらでもないものは充足可能な非恒真式です。役に立つ法則：ド・モルガンの法則 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b と ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b、a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（対偶）、¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b、そして分配法則 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

法則

ド・モルガンの法則：¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b。∧ は ∨ に変わり、両方の部分が否定されます。

¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b

真理値表で確かめる

a = 1, b = 1: 0 | 0 1 0 0

a = 1, b = 0: 1 | 1 0 0 0

a = 0, b = 1: 1 | 1 1 0 1

a = 0, b = 0: 1 | 1 1 1 0

答え

¬a ∨ ¬b

縦線の後ろの列は、表示されている順の選択肢です。

4.命題論理と証明

答え: N = 10

真理値表：n 個の異なる変数をもつ論理式には、真理値のすべての組み合わせに対応する 2ⁿ 行があります（1 = 真、0 = 偽）。内側から順に進め、部分式ごとに列を用意します。¬a は値を反転させ、a ∧ b は両方が 1 のときだけ 1、a ∨ b は両方が 0 のときだけ 0、a → b は a = 1 かつ b = 0 のときだけ 0、a ↔ b は両辺が等しいとき 1 です。

列

p ∨ s; ¬r; s ↔ ¬r; ¬(s ↔ ¬r); (p ∨ s) → ¬(s ↔ ¬r); ¬((p ∨ s) → ¬(s ↔ ¬r)); q ∨ r; p ↔ (q ∨ r); ¬((p ∨ s) → ¬(s ↔ ¬r)) ↔ (p ↔ (q ∨ r))

p で分ける

p = 1: 4

p = 0: 6

N = 4 + 6 = 10

答え

N = 10

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: L = 12

カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。

1 をグループ化する

各グループは 2ᵏ 個のセルからなる長方形です。端のセルは、反対側の端のセルと隣り合っています。

B′CD

A′CD′

ACD

ABD′

最小の SOP 形

F = B′CD + A′CD′ + ACD + ABD′

L = 12

答え

L = 12

同じ大きさの別のグループ分けもあります。項の数もリテラルの数も同じです。

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 3

主項

1 と X からつくれる最大のグループ。

C′D′, AB, A′B′C′

最小被覆

F = C′D′ + AB + A′B′C′

N = 3

答え

N = 3

7.整数論と合同式

答え: x = 31

逆元と合同式：a が n を法として逆元をもつのは、gcd(a, n) = 1 のときに限ります。拡張ユークリッドの互除法で 1 = s·n + t·a と書くと、a⁻¹ ≡ t (mod n) です。gcd(a, n) = 1 のとき、合同式 a·x ≡ b (mod n) の解は x ≡ a⁻¹·b です。法が互いに素な 2 つの合同式 x ≡ r₁ (mod m₁) と x ≡ r₂ (mod m₂) には、m₁·m₂ を法として 1 つの解があります（中国の剰余定理）。オイラーの φ(n) は、1 から n までの数のうち n と互いに素なものの個数です：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

22 の逆元

r = 53, t = 0

r = 22, q = 2, t = 1

r = 9, q = 2, t = −2

r = 4, q = 2, t = 5

r = 1, q = 4, t = −12

22⁻¹ ≡ 41 (mod 53)

解く

x ≡ 41·46 = 1886 ≡ 31 (mod 53)

確認: 22·31 = 682 ≡ 46 (mod 53)

答え

x = 31

8.整数論と合同式

答え: x = 9

gcd で割る

gcd(9, 60) = 3

3x ≡ 7 (mod 20)

簡約した合同式を解く

3⁻¹ ≡ 7 (mod 20) → x ≡ 9 (mod 20)

60 を法とする解

x ∈ {9, 29, 49}

全域木の辺

18 − 1 = 17

取り除く辺

k = 25 − 17 = 8

答え

k = 8

14.グラフ理論

答え: C

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

1. A (0): B: 8, C: 13

2. B (8): C: 10

3. C (10): E: 24, G: 22

4. G (22): D: 29

5. E (24): F: 34

6. D (29)

NAT は内側から開始された接続についてのみ対応表を作ります。ポートフォワーディングのルールがグローバル側のポートを内部ホストに対応づけるため、着信接続が届くようになります。

答え

D · ルーターで PC のプライベートアドレスへのポートフォワーディングを設定する

19.IPv4 サブネット化

答え: N = 64

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

借りたビット

26 − 20 = 6

サブネット数

N = 2⁶ = 64

答え

N = 64

各 /26 サブネットには 2⁶ − 2 = 62 個の使えるホストがあります。

20.IPv4 サブネット化

答え: x = 62

IPv4 サブネット化：アドレスは 32 ビットです。プレフィックス /p は先頭の何ビットがネットワークを表すかを示し、残りの 32 − p ビットでホストを番号付けします。サブネットには 2³²⁻ᵖ 個のアドレスがありますが、最初（ネットワークアドレス）と最後（ブロードキャストアドレス）はホストに割り当てられないため、2³²⁻ᵖ − 2 台のホストが収まります。例外：/31（ポイントツーポイントリンク、RFC 3021）は 2 つのアドレスを両方ともホストに使い、/32 は単一のアドレス（単一ホストまたはループバック）です。

ブロックサイズ

2⁶ = 64

このホストのサブネット

ネットワーク: ⌊59/64⌋·64 = 0

ブロードキャスト: 0 + 64 − 1 = 63

使えるホスト: 1 … 62

答え

x = 62

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