コンピュータサイエンス基礎：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記数法

位取り: 2 進数 2^k、8 進数 8^k、16 進数 16^k
10 進数へ: Σ d_k·b^k
10 進数から: 基数で割り、余りを下から上へ読む
16 進数 ↔ 2 進数: 16 進数 1 桁 = 4 ビット
2 の補数: ビットを反転して 1 を足す

命題論理と証明

真理値表の行: 2ⁿ
含意: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
含意の否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
同値（双条件）: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
ド・モルガンの法則: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配法則: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量化子の否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定式（modus ponens）、否定式（modus tollens）: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

解き方

異なる変数の数を数えます：真理値表の行数は 2ⁿ で、最初の行はすべて 1 です。
部分式ごとに列を用意し、内側から順に列を埋めていきます。
各結合子の規則を適用します：→ が 0 になるのは 1 → 0 のときだけ、↔ は両辺が一致するとき 1 です。
同値の判定では最後の列を行ごとに比べます。論証の判定では、すべての前提が 1 である行だけを見ます。
量化された文を否定するには、¬ を内側へ移し、∀ と ∃ を入れ替え、内側の式を否定します。

デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

基本ゲート: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
ブールの規則: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
ド・モルガンの法則: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
カルノー図の並び順: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ 個のセルのグループ: k 個の変数が消える
4 対 1 マルチプレクサ: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
フリップフロップ: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
カウンタ: n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； f_out = f_clk/N
リップルカウンタ: f_max = 1/(n·t_pd)
リングカウンタとジョンソンカウンタ: n 状態と 2n 状態

解き方

回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。

整数論と合同式

余りのある割り算: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ユークリッド: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆行列: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
一次合同式: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
オイラーのトーシェント関数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
フェルマー: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

解き方

まずすべての数を n で割った余りに直します。余りは 0 から n − 1 の間です。
最大公約数は、ユークリッドの互除法で割り算を繰り返して求めます。最後の 0 でない余りが最大公約数です。
逆元は拡張ユークリッドの互除法で求め、a の係数を取ります。負なら n を足します。
a·x ≡ b は a⁻¹ を掛けて解きます。2 つの合同式は x = r₁ + m₁k とおいて組み合わせます。
べき乗では、指数を 2 進数で書いて平方を繰り返します。RSA では d = e⁻¹ mod φ(n)、φ(n) = (p − 1)(q − 1) です。

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

IPv4 サブネット化

サブネットあたりのホスト数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ブロックサイズ: 256 − (mask octet)
ネットワークアドレス: IP AND マスク
ブロードキャストアドレス: IP OR (NOT マスク)：ホスト部のビットをすべて 1 にする
n ビット借りたときのサブネット数: 2ⁿ

2演習問題

1.記数法ふつう

8 ビットのパターン 1010 1001 は、符号付き整数を 2 の補数で表しています。10 進数での値 N はいくつですか？

1010 10018 bit

N =

2.記数法むずかしい

ビットを 0110 1000 XOR 1000 0011 の 8 ビットの結果に設定します。結果の値 R は 10 進でいくつですか？

0110 1000XOR1000 0011

R =

3.命題論理と証明ふつう

(p ∨ r) → q と論理的に同値な論理式はどれですか？クリックしてください。

(p ∨ r) → q

1(p → q) ∨ (r → q)
2p ∨ (r → q)
3(p → q) ∧ (r → q)
4(p ∧ r) → q

4.命題論理と証明むずかしい

前提 q → r; r → p が与えられています。そこから導かれる結論はどれですか？クリックしてください。

q → rr → p

1¬q → ¬p
2q → p
3p → q
4q ∧ p

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう

4 対 1 マルチプレクサの選択入力が S₁ = A、S₀ = B で、データ入力は I₀ = C′、I₁ = 0、I₂ = C′、I₃ = 1 につながれています。A, B, C の 8 通りの組み合わせのうち、出力 F = 1 になるのはいくつですか？ N を求めてください。

I₀ = C′I₁ = 0I₂ = C′I₃ = 1

N =

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい

d はドントケア条件を表します。F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 3, 8, 14) + d(4, 10, 11, 15) について、必須主項の個数 N を求めてください。

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 3, 8, 14) + d(4, 10, 11, 15)

N =

7.整数論と合同式ふつう

5x ≡ 4 (mod 13) を解いてください。0 < x < 13 を満たす解 x を答えてください。

5x ≡ 4 (mod 13)

x =

8.整数論と合同式むずかしい

97 は素数です。フェルマーの小定理を使って 27⁹⁷⁰² mod 97 を求めてください。

p = 97k = 9702

27⁹⁷⁰² mod 97 =

9.アルゴリズムと計算量ふつう

ボトムアップの表を使って n 番目のフィボナッチ数を計算する時間計算量は何ですか？

AO(n)
BO(log n)
CO(2ⁿ)
DO(n²)

10.アルゴリズムと計算量むずかしい

V 個の頂点と E 本の辺をもつグラフで、二分ヒープを用いたダイクストラ法の実行時間は何ですか？

AO(V³)
BO(V + E)
CO((V + E) log V)
DO(V × E)

11.データ構造ふつう

インデックス 0 から始まる配列に格納された二分ヒープで、インデックス i のノードの親はどこにありますか。

Aインデックス ⌊i / 2⌋ + 1
Bインデックス ⌊(i − 1) / 2⌋
Cインデックス i − 1
Dインデックス 2i + 1

12.データ構造むずかしい

異なるキーをもつ二分木を常に一意に決定する走査の組はどれですか。

A行きがけ順だけ
B行きがけ順と通りがけ順
C行きがけ順と帰りがけ順
Dレベル順だけ

13.グラフ理論ふつう

木に次数 3 の頂点が 2 個, 次数 5 の頂点が 2 個があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

2 × deg 32 × deg 5

L =

14.グラフ理論むずかしい

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 7|E| = 10

W =

15.データベースと SQLふつう

SELECT price * 2 AS double_price FROM t WHERE double_price > 10 が多くのデータベースで失敗するのはなぜですか？

ASELECT リストでは算術演算が許されないから
B別名にアンダースコアを含めてはいけないから
CWHERE はテキスト列しか比較できないから
DWHERE は SELECT リストより先に評価されるので、別名がまだ存在しないから

16.データベースと SQLむずかしい

あるアプリは UPDATE item SET qty = 4, version = 8 WHERE id = 1 AND version = 7 を実行し、更新された行がなければ競合を報告します。これはどの手法ですか？

A楽観的同時実行制御
Bデータベースのシャーディング
Cログ先行書き込み
D行ロックを用いる厳格な 2 相ロック

17.コンピュータネットワークふつう

192.168.0.0/24 と 192.168.1.0/24 の両方を集約する 1 つのプレフィックスはどれですか？

A192.168.0.0/22
B192.168.1.0/23
C192.168.0.0/23
D192.168.0.0/25

18.コンピュータネットワークむずかしい

衝突を繰り返した後、従来の Ethernet の端末は、毎回 2 倍になる範囲から待ち時間を選びます。なぜですか？

Aすべての端末を 1 つのクロックに同期させるため
Bケーブルが信号をより遠くまで運べるようにするため
C多数の端末が競合しているときに再び衝突する確率を下げるため
D共有ケーブル上で、MAC アドレスが最も大きい端末を優先するため

19.IPv4 サブネット化ふつう

ある部署では、1 つのサブネット内に 344 個のホストアドレスが必要です。十分な大きさとなる最長のプレフィックス長 p（最小のサブネット）はいくつですか？

344 hosts

p =

20.IPv4 サブネット化むずかしい

ネットワーク 192.168.230.0/24 を、次の LAN 用に VLSM で分割します：A: 42 ホスト, B: 23 ホスト, C: 33 ホスト, D: 8 ホスト。サブネットは .0 から順に、ホスト数が最も多い LAN から、収まる最小のサブネットで割り当てます。LAN B のネットワークアドレスの第 4 オクテット x はいくつですか？

A: 42B: 23C: 33D: 8

x =

3溶液

1.記数法

答え: N = −87

位取り記数法：各桁の値は、その数字に基数のべき乗を掛けたものです。2 進数では各桁の重みが 1、2、4、8、16、…、16 進数では 1、16、256、… で、A–F は 10–15 を表します。8 ビットの 2 の補数では、最上位ビットの重みが +128 ではなく −128 になり、こうして負の数を表します。

重みを合計する

ほかのビットは通常の正の重みのままです。

−128 + 32 + 8 + 1 = −87

答え

N = −87

2.記数法

答え: R = 235

ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。

ビットごとに

XOR は、2 つのビットが異なるところで 1 になります。

0110 1000

XOR 1000 0011

= 1110 1011

結果の値

1110 1011₂ = 235

答え

R = 235

3.命題論理と証明

答え: (p → q) ∧ (r → q)

論理的同値：2 つの論理式は、真理値表のすべての行で同じ値をとるとき同値（≡）です。恒真式（トートロジー）はすべての行で 1、矛盾（恒偽式）はすべての行で 0、どちらでもないものは充足可能な非恒真式です。役に立つ法則：ド・モルガンの法則 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b と ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b、a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（対偶）、¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b、そして分配法則 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

法則

(a ∨ b) → c は、a か b のどちらかが成り立つたびに c を必要とします：(a → c) ∧ (b → c)。

(p ∨ r) → q ≡ (p → q) ∧ (r → q)

真理値表で確かめる

p = 1, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 1, r = 0: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 0, r = 1: 0 | 0 1 0 0

p = 1, q = 0, r = 0: 0 | 1 1 0 1

p = 0, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 0, q = 1, r = 0: 1 | 1 1 1 1

p = 0, q = 0, r = 1: 0 | 1 0 0 1

p = 0, q = 0, r = 0: 1 | 1 1 1 1

答え

(p → q) ∧ (r → q)

縦線の後ろの列は、表示されている順の選択肢です。

4.命題論理と証明

答え: q → p

量化子と論証：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)、¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。否定を内側へ移し、通過する量化子をすべて入れ替え、内側の式は ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b のような命題論理の法則で否定します。論証は、すべての前提が 1 であるどの行でも結論が 1 のとき、妥当です。前提が真で結論が偽になる行が 1 つでもあれば、それは反例であり、その論証が妥当でないことを示します。

すべての前提が真の行

p = 1, q = 1, r = 1: ¬q → ¬p = 1, q → p = 1, p → q = 1, q ∧ p = 1

p = 1, q = 0, r = 1: ¬q → ¬p = 0, q → p = 1, p → q = 0, q ∧ p = 0

p = 1, q = 0, r = 0: ¬q → ¬p = 0, q → p = 1, p → q = 0, q ∧ p = 0

p = 0, q = 0, r = 0: ¬q → ¬p = 1, q → p = 1, p → q = 1, q ∧ p = 0

結論

q → p (仮言三段論法)

答え

q → p

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 4

マルチプレクサ：2ⁿ 対 1 のマルチプレクサは、データ入力の 1 つを出力に通します。選択線を 2 進数として読んだ値が、どれを通すかを決めます。選択線 S₁S₀ = AB の 4 対 1 MUX では、F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃ です。データ入力を 0, 1, C, C′ につなぐと、MUX は A, B, C の任意の関数を出力でき、1 つのチップで論理をつくる一般的な方法です。

出力の式

F = A′B′C′ + AB′C′ + AB

F = 1 の行

ABC = 000, 100, 110, 111

N = 4

答え

N = 4

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 3

カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。

主項

1 と X からつくれる最大のグループ。

B′D′, B′C, AC, A′C′D′

必須主項

B′D′, B′C, AC

N = 3

答え

N = 3

7.整数論と合同式

答え: x = 6

逆元と合同式：a が n を法として逆元をもつのは、gcd(a, n) = 1 のときに限ります。拡張ユークリッドの互除法で 1 = s·n + t·a と書くと、a⁻¹ ≡ t (mod n) です。gcd(a, n) = 1 のとき、合同式 a·x ≡ b (mod n) の解は x ≡ a⁻¹·b です。法が互いに素な 2 つの合同式 x ≡ r₁ (mod m₁) と x ≡ r₂ (mod m₂) には、m₁·m₂ を法として 1 つの解があります（中国の剰余定理）。オイラーの φ(n) は、1 から n までの数のうち n と互いに素なものの個数です：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

5 の逆元

r = 13, t = 0

r = 5, q = 2, t = 1

r = 3, q = 1, t = −2

r = 2, q = 1, t = 3

r = 1, q = 2, t = −5

5⁻¹ ≡ 8 (mod 13)

解く

x ≡ 8·4 = 32 ≡ 6 (mod 13)

確認: 5·6 = 30 ≡ 4 (mod 13)

答え

x = 6

8.整数論と合同式

答え: 27⁹⁷⁰² mod 97 = 64

冪剰余と RSA：aᵏ mod n は反復二乗法で計算します：k を 2 進数で書き、二乗し、毎回簡約し、ビットが 1 の冪を掛けます。フェルマー：素数 p が a を割り切らないとき aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) なので、指数は p − 1 を法として簡約できます。RSA：素数 p と q を選び、n = p·q、φ(n) = (p − 1)(q − 1) とします。公開指数 e は φ(n) と互いに素で、秘密指数は d = e⁻¹ mod φ(n) です。暗号化は c = mᵉ mod n、復号は m = cᵈ mod n で行います。

B · 行きがけ順と通りがけ順

13.グラフ理論

答え: L = 10

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、K_n には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 16 = 2(L + 4) − 2

L = 10

答え

L = 10

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

14.グラフ理論

答え: W = 58

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

DF (5): 取る

EF (6): 取る

GE (7): 取る

DE (9): 飛ばす（閉路ができる）

BC (12): 取る

C · 多数の端末が競合しているときに再び衝突する確率を下げるため

19.IPv4 サブネット化

答え: p = 23

IPv4 サブネット化：アドレスは 32 ビットです。プレフィックス /p は先頭の何ビットがネットワークを表すかを示し、残りの 32 − p ビットでホストを番号付けします。サブネットには 2³²⁻ᵖ 個のアドレスがありますが、最初（ネットワークアドレス）と最後（ブロードキャストアドレス）はホストに割り当てられないため、2³²⁻ᵖ − 2 台のホストが収まります。例外：/31（ポイントツーポイントリンク、RFC 3021）は 2 つのアドレスを両方ともホストに使い、/32 は単一のアドレス（単一ホストまたはループバック）です。

必要なホストビット数

2⁸ − 2 = 254 < 344

2⁹ − 2 = 510 ≥ 344 → h = 9

プレフィックス長

p = 32 − 9 = 23

答え

p = /23

20.IPv4 サブネット化

答え: x = 128

VLSM：各 LAN には 2ʰ − 2 ≥ ホスト数となる最小のサブネット、つまりプレフィックス 32 − h を割り当てます。大きいサブネットから割り当てると、各ブロックは自身のサイズの倍数にそろうので、ネットワークアドレスはブロックサイズを足し合わせて求まります。

LAN ごとのブロックサイズ

A: 42 ホスト → 2⁶ = 64 (/26)

C: 33 ホスト → 2⁶ = 64 (/26)

B: 23 ホスト → 2⁵ = 32 (/27)

D: 8 ホスト → 2⁴ = 16 (/28)

割り当て（大きい順）

A: .0 – .63

C: .64 – .127

B: .128 – .159

D: .160 – .175

答え

x = 128

LAN B：192.168.230.128/27。

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