コンピュータサイエンス基礎：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記数法

位取り: 2 進数 2^k、8 進数 8^k、16 進数 16^k
10 進数へ: Σ d_k·b^k
10 進数から: 基数で割り、余りを下から上へ読む
16 進数 ↔ 2 進数: 16 進数 1 桁 = 4 ビット
2 の補数: ビットを反転して 1 を足す

命題論理と証明

真理値表の行: 2ⁿ
含意: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
含意の否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
同値（双条件）: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
ド・モルガンの法則: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配法則: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量化子の否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定式（modus ponens）、否定式（modus tollens）: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

解き方

異なる変数の数を数えます：真理値表の行数は 2ⁿ で、最初の行はすべて 1 です。
部分式ごとに列を用意し、内側から順に列を埋めていきます。
各結合子の規則を適用します：→ が 0 になるのは 1 → 0 のときだけ、↔ は両辺が一致するとき 1 です。
同値の判定では最後の列を行ごとに比べます。論証の判定では、すべての前提が 1 である行だけを見ます。
量化された文を否定するには、¬ を内側へ移し、∀ と ∃ を入れ替え、内側の式を否定します。

デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

基本ゲート: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
ブールの規則: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
ド・モルガンの法則: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
カルノー図の並び順: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ 個のセルのグループ: k 個の変数が消える
4 対 1 マルチプレクサ: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
フリップフロップ: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
カウンタ: n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； f_out = f_clk/N
リップルカウンタ: f_max = 1/(n·t_pd)
リングカウンタとジョンソンカウンタ: n 状態と 2n 状態

解き方

回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。

整数論と合同式

余りのある割り算: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ユークリッド: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆行列: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
一次合同式: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
オイラーのトーシェント関数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
フェルマー: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

解き方

まずすべての数を n で割った余りに直します。余りは 0 から n − 1 の間です。
最大公約数は、ユークリッドの互除法で割り算を繰り返して求めます。最後の 0 でない余りが最大公約数です。
逆元は拡張ユークリッドの互除法で求め、a の係数を取ります。負なら n を足します。
a·x ≡ b は a⁻¹ を掛けて解きます。2 つの合同式は x = r₁ + m₁k とおいて組み合わせます。
べき乗では、指数を 2 進数で書いて平方を繰り返します。RSA では d = e⁻¹ mod φ(n)、φ(n) = (p − 1)(q − 1) です。

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

IPv4 サブネット化

サブネットあたりのホスト数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ブロックサイズ: 256 − (mask octet)
ネットワークアドレス: IP AND マスク
ブロードキャストアドレス: IP OR (NOT マスク)：ホスト部のビットをすべて 1 にする
n ビット借りたときのサブネット数: 2ⁿ

2演習問題

1.記数法ふつう

8 ビットの 2 の補数で −5 を格納するようにビットを設定します。符号なしの数として読むと、このパターンの値 U はいくつですか？

N = −58 bit

U =

2.記数法むずかしい

ビットを 0101 1110 OR 1010 0101 の 8 ビットの結果に設定します。結果の値 R は 10 進でいくつですか？

0101 1110OR1010 0101

R =

3.命題論理と証明ふつう

(b ∧ c) → a を背理法によって証明しようとしています。最初に仮定する主張はどれですか？クリックしてください。

(b ∧ c) → a

1¬(b ∧ c) ∧ a
2(b ∧ c) ∧ ¬a
3¬(b ∧ c) ∧ ¬a
4¬(b ∧ c) → ¬a

4.命題論理と証明むずかしい

否定を最も内側まで移したとき、¬∀x (P(x) → ∃y R(x, y)) と同値な主張はどれですか？クリックしてください。

¬∀x (P(x) → ∃y R(x, y))

1∃x (¬P(x) ∧ ∃y R(x, y))
2∀x (P(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
3∃x (P(x) → ∀y ¬R(x, y))
4∃x (P(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう

4 対 1 マルチプレクサの選択入力が S₁ = A、S₀ = B で、データ入力は I₀ = C、I₁ = C′、I₂ = C、I₃ = 1 につながれています。A, B, C の 8 通りの組み合わせのうち、出力 F = 1 になるのはいくつですか？ N を求めてください。

I₀ = CI₁ = C′I₂ = CI₃ = 1

N =

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい

d はドントケア条件を表します。F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 4, 5, 8, 14) + d(10, 12) の最小の SOP 形を求めてください。リテラル L はいくつ含まれますか？

F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 4, 5, 8, 14) + d(10, 12)

L =

7.整数論と合同式ふつう

17 を法とする 12 の逆元を求めてください：0 < x < 17 かつ 12·x ≡ 1 (mod 17) を満たす数 x です。

a = 12n = 17

12⁻¹ mod 17 =

8.整数論と合同式むずかしい

ある RSA 鍵は、素数 p = 17 と q = 23、公開指数 e = 17 を使います。秘密指数 d（0 < d < φ(n)）を求めてください。

p = 17q = 23e = 17

d =

9.アルゴリズムと計算量ふつう

動的計画法がマージソートを実質的に高速化しないのはなぜですか？

A動的計画法はグラフ問題にしか使えず、配列には使えないから
B部分問題が重複しないので、再利用するものがないから
Cマージソートはすでに O(n) だから
Dマージソートには再帰的な構造がないから

10.アルゴリズムと計算量むずかしい

決定問題 X が NP 完全であることを証明するには、どの 2 つのことを示さなければなりませんか？

AX が NP に属すること、および既知の NP 完全問題が多項式時間で X に帰着すること
BX に多項式アルゴリズムがないこと、および X が決定可能であること
CX が P の問題に帰着すること、および X が NP に属すること
DX が P に属すること、および X が SAT に帰着すること

11.データ構造ふつう

循環バッファ（リングバッファ）は一般的に何を実装するために使われますか。

A二分探索木
B固定サイズのキュー
Cグラフ探索
Dハッシュ関数

12.データ構造むずかしい

ヒープソートについて正しい記述はどれですか。

A追加の記憶領域として二分探索木を必要とするので、O(n) の追加メモリを使う
B安定で、O(n) の追加メモリを必要とする
Cどの入力に対しても O(n) 時間で動作する
D最悪 O(n log n) 時間でその場でソートするが、安定ではない

13.グラフ理論ふつう

完全グラフ K₆ には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K₆

H =

14.グラフ理論むずかしい

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F

d(F) =

15.データベースと SQLふつう

ACID の "A" は何を表しますか？

A集約（Aggregation）
B正確性（Accuracy）
C可用性（Availability）
D原子性（Atomicity）

16.データベースと SQLむずかしい

SELECT day, SUM(amount) OVER (ORDER BY day) FROM sales は何を計算しますか？

Aday の順に並べた amount の累計
Bすべての行に全 amount の合計
C1 日あたりの平均 amount
Dその日の合計だけを持つ、1 日 1 行

17.コンピュータネットワークふつう

NAT（ネットワークアドレス変換）の主な用途は何ですか？

Aプライベートアドレスを持つ多数のデバイスで 1 つのグローバル IP アドレスを共有すること
B2 つの拠点間のトラフィックを暗号化すること
Cネットワークケーブルの速度を上げること
Dローカルネットワーク上のデバイスのために、ドメイン名を IP アドレスに変換すること

18.コンピュータネットワークむずかしい

ある経路の帯域幅は 100 Mbit/s、往復時間は 40 ms です。経路を十分に使い切るには、どれだけのデータを送信中にしておく必要がありますか？

A50 kB
B500 kB
C2.5 MB
D4 kB

19.IPv4 サブネット化ふつう

あるサブネットはマスク 255.255.254.0 を使っています。使えるホストアドレスはいくつ H ありますか？

255.255.254.0

H =

20.IPv4 サブネット化むずかしい

あるルータは次のネットワークへの経路をもっています：10.251.115.0/24, 10.251.116.0/24, 10.251.117.0/24, 10.251.118.0/24, 10.251.119.0/24, 10.251.120.0/24, 10.251.121.0/24, 10.251.122.0/24。それらすべてをカバーする 1 つの集約経路の最長のプレフィックス長 p はいくつですか？

10.251.115.0/24 … 10.251.122.0/24

p =

3溶液

1.記数法

答え: U = 251

ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。

反転して 1 を足す

5 = 0000 0101

反転後: 1111 1010

+1 → 1111 1011

符号なしとして読む

1111 1011₂ = 256 − 5 = 251

答え

U = 251

2.記数法

答え: R = 255

ビットごとに

OR は、少なくとも一方のビットが 1 のところで 1 になります。

0101 1110

OR 1010 0101

= 1111 1111

結果の値

1111 1111₂ = 255

答え

R = 255

3.命題論理と証明

答え: (b ∧ c) ∧ ¬a

論理的同値：2 つの論理式は、真理値表のすべての行で同じ値をとるとき同値（≡）です。恒真式（トートロジー）はすべての行で 1、矛盾（恒偽式）はすべての行で 0、どちらでもないものは充足可能な非恒真式です。役に立つ法則：ド・モルガンの法則 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b と ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b、a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（対偶）、¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b、そして分配法則 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

含意の各部分

a = b ∧ c, b = a

含意の否定

¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = (b ∧ c) ∧ ¬a

答え

(b ∧ c) ∧ ¬a

仮定から矛盾が導かれるなら、その含意は真でなければなりません。

4.命題論理と証明

答え: ∃x (P(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

量化子と論証：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)、¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。否定を内側へ移し、通過する量化子をすべて入れ替え、内側の式は ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b のような命題論理の法則で否定します。論証は、すべての前提が 1 であるどの行でも結論が 1 のとき、妥当です。前提が真で結論が偽になる行が 1 つでもあれば、それは反例であり、その論証が妥当でないことを示します。

否定を内側へ移す

¬∀x (P(x) → ∃y R(x, y)) ≡ ∃x (P(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

答え

∃x (P(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

ほかの選択肢は、量化子がそのままになっているか、量化子の順序が変わっているか、内側の式の否定が間違っているかのどれかです。

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 5

マルチプレクサ：2ⁿ 対 1 のマルチプレクサは、データ入力の 1 つを出力に通します。選択線を 2 進数として読んだ値が、どれを通すかを決めます。選択線 S₁S₀ = AB の 4 対 1 MUX では、F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃ です。データ入力を 0, 1, C, C′ につなぐと、MUX は A, B, C の任意の関数を出力でき、1 つのチップで論理をつくる一般的な方法です。

出力の式

F = A′B′C + A′BC′ + AB′C + AB

F = 1 の行

ABC = 001, 010, 101, 110, 111

N = 5

答え

N = 5

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: L = 8

カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。

主項

1 と X からつくれる最大のグループ。

B′CD′, BC′D′, AD′, A′B′C, A′BC′

最小被覆

F = AD′ + A′B′C + A′BC′

L = 8

答え

L = 8

7.整数論と合同式

答え: 12⁻¹ mod 17 = 10

逆元と合同式：a が n を法として逆元をもつのは、gcd(a, n) = 1 のときに限ります。拡張ユークリッドの互除法で 1 = s·n + t·a と書くと、a⁻¹ ≡ t (mod n) です。gcd(a, n) = 1 のとき、合同式 a·x ≡ b (mod n) の解は x ≡ a⁻¹·b です。法が互いに素な 2 つの合同式 x ≡ r₁ (mod m₁) と x ≡ r₂ (mod m₂) には、m₁·m₂ を法として 1 つの解があります（中国の剰余定理）。オイラーの φ(n) は、1 から n までの数のうち n と互いに素なものの個数です：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

拡張ユークリッドの互除法

各余り r は r ≡ t·12 (mod 17) と書けます。

r = 17, t = 0

r = 12, q = 1, t = 1

r = 5, q = 2, t = −1

r = 2, q = 2, t = 3

r = 1, q = 2, t = −7

逆行列

1 ≡ −7·12 (mod 17)

x = 10

確認: 12·10 = 120 = 7·17 + 1

答え

12⁻¹ mod 17 = 10

8.整数論と合同式

答え: d = 145

冪剰余と RSA：aᵏ mod n は反復二乗法で計算します：k を 2 進数で書き、二乗し、毎回簡約し、ビットが 1 の冪を掛けます。フェルマー：素数 p が a を割り切らないとき aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) なので、指数は p − 1 を法として簡約できます。RSA：素数 p と q を選び、n = p·q、φ(n) = (p − 1)(q − 1) とします。公開指数 e は φ(n) と互いに素で、秘密指数は d = e⁻¹ mod φ(n) です。暗号化は c = mᵉ mod n、復号は m = cᵈ mod n で行います。

法とトーシェント関数

n = 17·23 = 391

φ(n) = 16·22 = 352

拡張ユークリッドの互除法

r = 352, t = 0

r = 17, q = 20, t = 1

r = 12, q = 1, t = −20

r = 5, q = 2, t = 21

r = 2, q = 2, t = −62

r = 1, q = 2, t = 145

秘密指数

d = 145

数える

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

答え

H = 60

14.グラフ理論

答え: d(F) = 10

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 5, C: 4

C (4): E: 6

B (5): D: 10

E (6): F: 10

D (10)

F (10)

最短経路

A → C → E → F

プレフィックス長

255.255.254.0 = /23

使えるホスト数

2⁹ − 2 = 510

答え

H = 510

20.IPv4 サブネット化

答え: p = 20

経路集約：集約経路 a.b.c.0/p は、最初の p ビットが一致するすべてのネットワークをカバーします。最初と最後のネットワークの異なるオクテットを 2 進数で書きます。共通する先頭のビット数に、それより前のオクテットのビット数を加えたものが最長の集約プレフィックスです。

ビットを比べる

115 = 01110011

122 = 01111010

共通する先頭のビット：4

プレフィックス長

p = 16 + 4 = 20

答え

p = /20

集約経路：10.251.112.0/20 （リストにない 8 個のネットワークもカバーします）。

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