コンピュータサイエンス基礎：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記数法

位取り: 2 進数 2^k、8 進数 8^k、16 進数 16^k
10 進数へ: Σ d_k·b^k
10 進数から: 基数で割り、余りを下から上へ読む
16 進数 ↔ 2 進数: 16 進数 1 桁 = 4 ビット
2 の補数: ビットを反転して 1 を足す

命題論理と証明

真理値表の行: 2ⁿ
含意: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
含意の否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
同値（双条件）: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
ド・モルガンの法則: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配法則: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量化子の否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定式（modus ponens）、否定式（modus tollens）: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

解き方

異なる変数の数を数えます：真理値表の行数は 2ⁿ で、最初の行はすべて 1 です。
部分式ごとに列を用意し、内側から順に列を埋めていきます。
各結合子の規則を適用します：→ が 0 になるのは 1 → 0 のときだけ、↔ は両辺が一致するとき 1 です。
同値の判定では最後の列を行ごとに比べます。論証の判定では、すべての前提が 1 である行だけを見ます。
量化された文を否定するには、¬ を内側へ移し、∀ と ∃ を入れ替え、内側の式を否定します。

デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

基本ゲート: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
ブールの規則: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
ド・モルガンの法則: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
カルノー図の並び順: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ 個のセルのグループ: k 個の変数が消える
4 対 1 マルチプレクサ: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
フリップフロップ: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
カウンタ: n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； f_out = f_clk/N
リップルカウンタ: f_max = 1/(n·t_pd)
リングカウンタとジョンソンカウンタ: n 状態と 2n 状態

解き方

回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。

整数論と合同式

余りのある割り算: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ユークリッド: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆行列: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
一次合同式: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
オイラーのトーシェント関数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
フェルマー: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

解き方

まずすべての数を n で割った余りに直します。余りは 0 から n − 1 の間です。
最大公約数は、ユークリッドの互除法で割り算を繰り返して求めます。最後の 0 でない余りが最大公約数です。
逆元は拡張ユークリッドの互除法で求め、a の係数を取ります。負なら n を足します。
a·x ≡ b は a⁻¹ を掛けて解きます。2 つの合同式は x = r₁ + m₁k とおいて組み合わせます。
べき乗では、指数を 2 進数で書いて平方を繰り返します。RSA では d = e⁻¹ mod φ(n)、φ(n) = (p − 1)(q − 1) です。

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

IPv4 サブネット化

サブネットあたりのホスト数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ブロックサイズ: 256 − (mask octet)
ネットワークアドレス: IP AND マスク
ブロードキャストアドレス: IP OR (NOT マスク)：ホスト部のビットをすべて 1 にする
n ビット借りたときのサブネット数: 2ⁿ

2演習問題

1.記数法ふつう

8 ビットの 2 の補数で −67 を格納するようにビットを設定します。符号なしの数として読むと、このパターンの値 U はいくつですか？

N = −678 bit

U =

2.記数法むずかしい

ビットを 1000 0111 OR 0011 0100 の 8 ビットの結果に設定します。結果の値 R は 10 進でいくつですか？

1000 0111OR0011 0100

R =

3.命題論理と証明ふつう

¬(r → p) と論理的に同値な論理式はどれですか？クリックしてください。

¬(r → p)

1¬r → ¬p
2¬r ∨ ¬p
3r ∧ ¬p
4¬r ∧ p

4.命題論理と証明むずかしい

否定を最も内側まで移したとき、¬∃x (P(x) → Q(x)) と同値な主張はどれですか？クリックしてください。

¬∃x (P(x) → Q(x))

1∀x (¬P(x) → ¬Q(x))
2∀x (P(x) ∧ ¬Q(x))
3∀x (P(x) → ¬Q(x))
4∃x (P(x) ∧ ¬Q(x))

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう

このカルノー図には、隣り合う 1 をもたない 1 がちょうど 1 つあり、最小の SOP 形では 1 セルのグループ（4 リテラルの完全な最小項）のままです。図の端をまたぐ隣接も数えます。そのセルをクリックしてください。

F = Σm(1, 6, 7, 10, 14)

1AB = 00, CD = 00
2AB = 00, CD = 01
3AB = 00, CD = 11
4AB = 00, CD = 10
5AB = 01, CD = 00
6AB = 01, CD = 01
7AB = 01, CD = 11
8AB = 01, CD = 10
9AB = 11, CD = 00
10AB = 11, CD = 01
11AB = 11, CD = 11
12AB = 11, CD = 10
13AB = 10, CD = 00
14AB = 10, CD = 01
15AB = 10, CD = 11
16AB = 10, CD = 10

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい

d はドントケア条件を表します。F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 7, 8, 11, 14, 15) + d(5, 12, 13) について、必須主項の個数 N を求めてください。

F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 7, 8, 11, 14, 15) + d(5, 12, 13)

N =

7.整数論と合同式ふつう

31 を法とする 23 の逆元を求めてください：0 < x < 31 かつ 23·x ≡ 1 (mod 31) を満たす数 x です。

a = 23n = 31

23⁻¹ mod 31 =

8.整数論と合同式むずかしい

反復二乗法を使って 3¹⁸⁴ mod 17 を求めてください。

a = 3k = 184n = 17

3¹⁸⁴ mod 17 =

9.アルゴリズムと計算量ふつう

漸化式 T(n) = 2T(n/2) + O(n) の解はどれですか？

AO(log n)
BO(n log n)
CO(n)
DO(n²)

10.アルゴリズムと計算量むずかしい

ソート済み配列における比較に基づく探索が、最悪の場合 Ω(log n) 回の比較を必要とするのはなぜですか？

A二分探索が唯一可能なアルゴリズムであり、log₂ n 回の比較が必要だから
Bn 通りの結果をもつ決定木は、深さが少なくとも log₂ n でなければならないから
C比較 1 回ごとに対数時間がかかるから
Dすべての要素を少なくとも一度比較しなければならないから

11.データ構造ふつう

インデックス 0 から始まる配列に格納された二分ヒープで、インデックス i のノードの親はどこにありますか。

Aインデックス i − 1
Bインデックス 2i + 1
Cインデックス ⌊i / 2⌋ + 1
Dインデックス ⌊(i − 1) / 2⌋

12.データ構造むずかしい

キー 5, 3, 8, 1 をこの順に、空の配列ベースの二分最小ヒープに挿入します。最終的な配列はどれですか。

A[1, 3, 5, 8]
B[1, 3, 8, 5]
C[3, 1, 8, 5]
D[1, 5, 8, 3]

13.グラフ理論ふつう

連結グラフに 12 個の頂点と 17 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 12|E| = 17

k =

14.グラフ理論むずかしい

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 6|E| = 8

W =

15.データベースと SQLふつう

共通テーブル式（WITH name AS (...)）は何を提供しますか？

A1 つの文の中で使える、名前付きの一時的な結果
B新しいデータベースユーザー
C列に対するインデックス
D削除されるまでディスクに保存され続ける恒久的なテーブル

16.データベースと SQLむずかしい

テーブルに 100 万行あり、ブール型の列 is_active はそのうち 95% で TRUE です。WHERE is_active = TRUE について、オプティマイザが is_active のインデックスを無視することがあるのはなぜですか？

Aオプティマイザは WHERE 句でインデックスを決して使わないから
Bブール型の列にはインデックスを作れないから
Cインデックスでは TRUE が NULL として扱われるから
Dほとんどの行が一致するので、多数のインデックス検索より全表スキャンのほうが安いから

17.コンピュータネットワークふつう

VLAN の主な目的は何ですか？

A1 つの物理的なスイッチネットワークを別々のブロードキャストドメインに分けること
B各デバイスにグローバル IP アドレスを与えること
Cすべてのスイッチポートの速度を上げること
D他の部署が読めないよう、スイッチ間のすべてのトラフィックを暗号化すること

18.コンピュータネットワークむずかしい

衝突を繰り返した後、従来の Ethernet の端末は、毎回 2 倍になる範囲から待ち時間を選びます。なぜですか？

A共有ケーブル上で、MAC アドレスが最も大きい端末を優先するため
B多数の端末が競合しているときに再び衝突する確率を下げるため
Cケーブルが信号をより遠くまで運べるようにするため
Dすべての端末を 1 つのクロックに同期させるため

19.IPv4 サブネット化ふつう

ある部署では、1 つのサブネット内に 485 個のホストアドレスが必要です。十分な大きさとなる最長のプレフィックス長 p（最小のサブネット）はいくつですか？

485 hosts

p =

20.IPv4 サブネット化むずかしい

ネットワーク 192.168.126.0/24 を、次の LAN 用に VLSM で分割します：A: 63 ホスト, B: 27 ホスト, C: 25 ホスト, D: 6 ホスト。サブネットは .0 から順に、ホスト数が最も多い LAN から、収まる最小のサブネットで割り当てます。LAN C のネットワークアドレスの第 4 オクテット x はいくつですか？

A: 63B: 27C: 25D: 6

x =

3溶液

1.記数法

答え: U = 189

ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。

反転して 1 を足す

67 = 0100 0011

反転後: 1011 1100

+1 → 1011 1101

符号なしとして読む

1011 1101₂ = 256 − 67 = 189

答え

U = 189

2.記数法

答え: R = 183

ビットごとに

OR は、少なくとも一方のビットが 1 のところで 1 になります。

1000 0111

OR 0011 0100

= 1011 0111

結果の値

1011 0111₂ = 183

答え

R = 183

3.命題論理と証明

答え: r ∧ ¬p

論理的同値：2 つの論理式は、真理値表のすべての行で同じ値をとるとき同値（≡）です。恒真式（トートロジー）はすべての行で 1、矛盾（恒偽式）はすべての行で 0、どちらでもないものは充足可能な非恒真式です。役に立つ法則：ド・モルガンの法則 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b と ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b、a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（対偶）、¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b、そして分配法則 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

法則

¬(a → b) ≡ ¬(¬a ∨ b) ≡ a ∧ ¬b：含意が成り立たなくなる唯一の行です。

¬(r → p) ≡ r ∧ ¬p

真理値表で確かめる

p = 1, r = 1: 0 | 1 0 0 0

p = 1, r = 0: 0 | 0 1 0 1

p = 0, r = 1: 1 | 1 1 1 0

p = 0, r = 0: 0 | 1 1 0 0

答え

r ∧ ¬p

縦線の後ろの列は、表示されている順の選択肢です。

4.命題論理と証明

答え: ∀x (P(x) ∧ ¬Q(x))

量化子と論証：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)、¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。否定を内側へ移し、通過する量化子をすべて入れ替え、内側の式は ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b のような命題論理の法則で否定します。論証は、すべての前提が 1 であるどの行でも結論が 1 のとき、妥当です。前提が真で結論が偽になる行が 1 つでもあれば、それは反例であり、その論証が妥当でないことを示します。

否定を内側へ移す

¬∃x (P(x) → Q(x)) ≡ ∀x (P(x) ∧ ¬Q(x))

答え

∀x (P(x) ∧ ¬Q(x))

ほかの選択肢は、量化子がそのままになっているか、量化子の順序が変わっているか、内側の式の否定が間違っているかのどれかです。

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: AB = 00, CD = 01

カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。

各 1 の隣

隣り合う 1 がある 1 は、2 つ以上のグループに加わることができます。

m1: m0, m3, m5, m9 → 0

孤立した 1

m1 = A′B′C′D → AB = 00, CD = 01

答え

AB = 00, CD = 01

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 4

主項

1 と X からつくれる最大のグループ。

CD, BD, A′D, AC′D′, AB

必須主項

CD, A′D, AC′D′, AB

N = 4

答え

N = 4

7.整数論と合同式

答え: 23⁻¹ mod 31 = 27

逆元と合同式：a が n を法として逆元をもつのは、gcd(a, n) = 1 のときに限ります。拡張ユークリッドの互除法で 1 = s·n + t·a と書くと、a⁻¹ ≡ t (mod n) です。gcd(a, n) = 1 のとき、合同式 a·x ≡ b (mod n) の解は x ≡ a⁻¹·b です。法が互いに素な 2 つの合同式 x ≡ r₁ (mod m₁) と x ≡ r₂ (mod m₂) には、m₁·m₂ を法として 1 つの解があります（中国の剰余定理）。オイラーの φ(n) は、1 から n までの数のうち n と互いに素なものの個数です：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

拡張ユークリッドの互除法

各余り r は r ≡ t·23 (mod 31) と書けます。

r = 31, t = 0

r = 23, q = 1, t = 1

r = 8, q = 2, t = −1

r = 7, q = 1, t = 3

r = 1, q = 7, t = −4

逆行列

1 ≡ −4·23 (mod 31)

x = 27

確認: 23·27 = 621 = 20·31 + 1

答え

23⁻¹ mod 31 = 27

8.整数論と合同式

答え: 3¹⁸⁴ mod 17 = 16

冪剰余と RSA：aᵏ mod n は反復二乗法で計算します：k を 2 進数で書き、二乗し、毎回簡約し、ビットが 1 の冪を掛けます。フェルマー：素数 p が a を割り切らないとき aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) なので、指数は p − 1 を法として簡約できます。RSA：素数 p と q を選び、n = p·q、φ(n) = (p − 1)(q − 1) とします。公開指数 e は φ(n) と互いに素で、秘密指数は d = e⁻¹ mod φ(n) です。暗号化は c = mᵉ mod n、復号は m = cᵈ mod n で行います。

2 進数の指数

184 = 10111000₂ = 128 + 32 + 16 + 8

反復二乗法

3¹ ≡ 3 (mod 17)

3² ≡ 9 (mod 17)

3⁴ ≡ 13 (mod 17)

3⁸ ≡ 16 (mod 17)

3¹⁶ ≡ 1 (mod 17)

B · [1, 3, 8, 5]

13.グラフ理論

答え: k = 6

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、K_n には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

12 − 1 = 11

取り除く辺

k = 17 − 11 = 6

答え

k = 6

14.グラフ理論

答え: W = 32

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

CE (2): 取る

BE (4): 取る

DE (5): 取る

B · 多数の端末が競合しているときに再び衝突する確率を下げるため

19.IPv4 サブネット化

答え: p = 23

IPv4 サブネット化：アドレスは 32 ビットです。プレフィックス /p は先頭の何ビットがネットワークを表すかを示し、残りの 32 − p ビットでホストを番号付けします。サブネットには 2³²⁻ᵖ 個のアドレスがありますが、最初（ネットワークアドレス）と最後（ブロードキャストアドレス）はホストに割り当てられないため、2³²⁻ᵖ − 2 台のホストが収まります。例外：/31（ポイントツーポイントリンク、RFC 3021）は 2 つのアドレスを両方ともホストに使い、/32 は単一のアドレス（単一ホストまたはループバック）です。

必要なホストビット数

2⁸ − 2 = 254 < 485

2⁹ − 2 = 510 ≥ 485 → h = 9

プレフィックス長

p = 32 − 9 = 23

答え

p = /23

20.IPv4 サブネット化

答え: x = 160

VLSM：各 LAN には 2ʰ − 2 ≥ ホスト数となる最小のサブネット、つまりプレフィックス 32 − h を割り当てます。大きいサブネットから割り当てると、各ブロックは自身のサイズの倍数にそろうので、ネットワークアドレスはブロックサイズを足し合わせて求まります。

LAN ごとのブロックサイズ

A: 63 ホスト → 2⁷ = 128 (/25)

B: 27 ホスト → 2⁵ = 32 (/27)

C: 25 ホスト → 2⁵ = 32 (/27)

D: 6 ホスト → 2³ = 8 (/29)

割り当て（大きい順）

A: .0 – .127

B: .128 – .159

C: .160 – .191

D: .192 – .199

答え

x = 160

LAN C：192.168.126.160/27。

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