コンピュータサイエンス基礎：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記数法

位取り: 2 進数 2^k、8 進数 8^k、16 進数 16^k
10 進数へ: Σ d_k·b^k
10 進数から: 基数で割り、余りを下から上へ読む
16 進数 ↔ 2 進数: 16 進数 1 桁 = 4 ビット
2 の補数: ビットを反転して 1 を足す

命題論理と証明

真理値表の行: 2ⁿ
含意: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
含意の否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
同値（双条件）: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
ド・モルガンの法則: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配法則: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量化子の否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定式（modus ponens）、否定式（modus tollens）: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

解き方

異なる変数の数を数えます：真理値表の行数は 2ⁿ で、最初の行はすべて 1 です。
部分式ごとに列を用意し、内側から順に列を埋めていきます。
各結合子の規則を適用します：→ が 0 になるのは 1 → 0 のときだけ、↔ は両辺が一致するとき 1 です。
同値の判定では最後の列を行ごとに比べます。論証の判定では、すべての前提が 1 である行だけを見ます。
量化された文を否定するには、¬ を内側へ移し、∀ と ∃ を入れ替え、内側の式を否定します。

デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

基本ゲート: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
ブールの規則: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
ド・モルガンの法則: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
カルノー図の並び順: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ 個のセルのグループ: k 個の変数が消える
4 対 1 マルチプレクサ: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
フリップフロップ: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
カウンタ: n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； f_out = f_clk/N
リップルカウンタ: f_max = 1/(n·t_pd)
リングカウンタとジョンソンカウンタ: n 状態と 2n 状態

解き方

回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。

整数論と合同式

余りのある割り算: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ユークリッド: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆行列: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
一次合同式: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
オイラーのトーシェント関数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
フェルマー: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

解き方

まずすべての数を n で割った余りに直します。余りは 0 から n − 1 の間です。
最大公約数は、ユークリッドの互除法で割り算を繰り返して求めます。最後の 0 でない余りが最大公約数です。
逆元は拡張ユークリッドの互除法で求め、a の係数を取ります。負なら n を足します。
a·x ≡ b は a⁻¹ を掛けて解きます。2 つの合同式は x = r₁ + m₁k とおいて組み合わせます。
べき乗では、指数を 2 進数で書いて平方を繰り返します。RSA では d = e⁻¹ mod φ(n)、φ(n) = (p − 1)(q − 1) です。

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

IPv4 サブネット化

サブネットあたりのホスト数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ブロックサイズ: 256 − (mask octet)
ネットワークアドレス: IP AND マスク
ブロードキャストアドレス: IP OR (NOT マスク)：ホスト部のビットをすべて 1 にする
n ビット借りたときのサブネット数: 2ⁿ

2演習問題

1.記数法ふつう

8 ビットの 2 の補数で −10 を格納するようにビットを設定します。符号なしの数として読むと、このパターンの値 U はいくつですか？

N = −108 bit

U =

2.記数法むずかしい

ビットを 1001 1110 << 2 の 8 ビットの結果に設定します。結果の値 R は 10 進でいくつですか？

1001 1110<< 2

R =

3.命題論理と証明ふつう

p → q と論理的に同値な論理式はどれですか？クリックしてください。

p → q

1q → p
2¬p → ¬q
3¬p ∨ q
4¬p ∧ q

4.命題論理と証明むずかしい

否定を最も内側まで移したとき、¬∃x P(x) と同値な主張はどれですか？クリックしてください。

¬∃x P(x)

1∀x P(x)
2∀x ¬P(x)
3∃x ¬P(x)
4∃x P(x)

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう

このカルノー図には、隣り合う 1 をもたない 1 がちょうど 1 つあり、最小の SOP 形では 1 セルのグループ（4 リテラルの完全な最小項）のままです。図の端をまたぐ隣接も数えます。そのセルをクリックしてください。

F = Σm(2, 6, 10, 15)

1AB = 00, CD = 00
2AB = 00, CD = 01
3AB = 00, CD = 11
4AB = 00, CD = 10
5AB = 01, CD = 00
6AB = 01, CD = 01
7AB = 01, CD = 11
8AB = 01, CD = 10
9AB = 11, CD = 00
10AB = 11, CD = 01
11AB = 11, CD = 11
12AB = 11, CD = 10
13AB = 10, CD = 00
14AB = 10, CD = 01
15AB = 10, CD = 11
16AB = 10, CD = 10

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい

d はドントケア条件を表します。F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 4, 5, 8, 9, 13) + d(3, 6, 12, 14) の最小の SOP 形を求めてください。リテラル L はいくつ含まれますか？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 4, 5, 8, 9, 13) + d(3, 6, 12, 14)

L =

7.整数論と合同式ふつう

79 を法とする 29 の逆元を求めてください：0 < x < 79 かつ 29·x ≡ 1 (mod 79) を満たす数 x です。

a = 29n = 79

29⁻¹ mod 79 =

8.整数論と合同式むずかしい

ある RSA 鍵は、素数 p = 17 と q = 19、公開指数 e = 13 を使います。秘密指数 d（0 < d < φ(n)）を求めてください。

p = 17q = 19e = 13

d =

9.アルゴリズムと計算量ふつう

活動選択問題で、重ならない活動の数を常に最大にする貪欲な規則はどれですか？

A最も早く終わる活動を選び、両立する活動で繰り返す
B重なりの最も少ない活動を先に選び、両立する活動で繰り返す
C最も短い活動から選ぶ
D最も早く始まる活動を選ぶ

10.アルゴリズムと計算量むずかしい

閉路を作らない最も安い辺を繰り返し追加して最小全域木を求めるアルゴリズムはどれですか？

ADijkstra 法
B一つのノードから始める Prim 法
CFloyd–Warshall
DKruskal 法

11.データ構造ふつう

高さを辺の数で数えるとき、高さ h の完全（perfect）二分木にはいくつのノードがありますか。

A2^h
B2^h+1 − 1
C2h + 1
Dh²

12.データ構造むずかしい

ダブルハッシュ法が主に軽減する線形探査法の問題はどれですか。

Aキーをテーブルに格納する必要があること
B使用中のスロットが長く連なる一次クラスタリング
Cキーの値を読み取る O(n) のコスト
Dハッシュ関数が必要であること

13.グラフ理論ふつう

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？答えをクリックしてください。

|V| = 5|E| = 5

1オイラー閉路
2オイラー路あり、閉路なし
3どちらでもない

14.グラフ理論むずかしい

ダイクストラ法を A から実行します。ラウンド 5 で確定する（永続になる）頂点をクリックしてください。A 自身がラウンド 1 です。

始点：Aラウンド 5

15.データベースと SQLふつう

外部キーが ON DELETE CASCADE で宣言されています。親の行を削除すると何が起こりますか？

A親の行がアーカイブテーブルにコピーされる
B削除は常に拒否される
Cそれを参照する子の行が自動的に削除される
D子の行の外部キーが自動的に NULL に設定される

16.データベースと SQLむずかしい

WHERE YEAR(order_date) = 2025 を含むクエリが order_date のインデックスを使わないことがあるのはなぜですか？

A列に関数を適用すると、単純なインデックス範囲検索ができなくなるから
Bインデックスは日付では決して機能しないから
CYEAR は有効な SQL ではないから
Dorder_date のインデックスは ORDER BY 句にしか使われず、WHERE には決して使われないから

17.コンピュータネットワークふつう

ホスト 192.168.10.77/26 のネットワークアドレスは何ですか？

A192.168.10.128
B192.168.10.76
C192.168.10.0
D192.168.10.64

18.コンピュータネットワークむずかしい

DNS クエリは通常 UDP を使います。DNS が代わりに TCP を使うのは通常どのような場合ですか？

AIP アドレスの逆引きの場合だけ
Bドメイン名が 10 文字より長い場合だけ
CUDP には大きすぎる応答と、ゾーン転送の場合
DWeb ブラウザーから送られるすべてのクエリの場合

19.IPv4 サブネット化ふつう

ネットワーク 192.168.10.0/24 を、少なくとも 10 個の同じ大きさのサブネットに分けます。借りるビットをできるだけ少なくすると、各サブネットで使えるホスト数 H はいくつですか？

192.168.10.0/2410 subnets

H =

20.IPv4 サブネット化むずかしい

あるホストのアドレスは 10.20.12.158/26 です。そのサブネットで最後に使えるホストアドレスの第 4 オクテット x はいくつですか？

10.20.12.158/26

x =

3溶液

1.記数法

答え: U = 246

ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。

反転して 1 を足す

10 = 0000 1010

反転後: 1111 0101

+1 → 1111 0110

符号なしとして読む

1111 0110₂ = 256 − 10 = 246

答え

U = 246

2.記数法

答え: R = 120

ビットごとに

2 だけ左にシフトすると、すべてのビットが 2 桁左へ動きます。左端からはみ出したビットは失われ、右側には 0 が入ります。

1001 1110 << 2

= 0111 1000

結果の値

0111 1000₂ = 120

答え

R = 120

3.命題論理と証明

答え: ¬p ∨ q

論理的同値：2 つの論理式は、真理値表のすべての行で同じ値をとるとき同値（≡）です。恒真式（トートロジー）はすべての行で 1、矛盾（恒偽式）はすべての行で 0、どちらでもないものは充足可能な非恒真式です。役に立つ法則：ド・モルガンの法則 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b と ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b、a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（対偶）、¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b、そして分配法則 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

法則

a → b は a = 1 かつ b = 0 のときだけ 0 なので、¬a ∨ b と同じです。

p → q ≡ ¬p ∨ q

真理値表で確かめる

p = 1, q = 1: 1 | 1 1 1 0

p = 1, q = 0: 0 | 1 1 0 0

p = 0, q = 1: 1 | 0 0 1 1

p = 0, q = 0: 1 | 1 1 1 0

答え

¬p ∨ q

縦線の後ろの列は、表示されている順の選択肢です。

4.命題論理と証明

答え: ∀x ¬P(x)

量化子と論証：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)、¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。否定を内側へ移し、通過する量化子をすべて入れ替え、内側の式は ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b のような命題論理の法則で否定します。論証は、すべての前提が 1 であるどの行でも結論が 1 のとき、妥当です。前提が真で結論が偽になる行が 1 つでもあれば、それは反例であり、その論証が妥当でないことを示します。

否定を内側へ移す

¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)

答え

∀x ¬P(x)

ほかの選択肢は、量化子がそのままになっているか、量化子の順序が変わっているか、内側の式の否定が間違っているかのどれかです。

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: AB = 11, CD = 11

カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。

各 1 の隣

隣り合う 1 がある 1 は、2 つ以上のグループに加わることができます。

m15: m14, m13, m11, m7 → 0

孤立した 1

m15 = ABCD → AB = 11, CD = 11

答え

AB = 11, CD = 11

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: L = 6

主項

1 と X からつくれる最大のグループ。

C′D′, BD′, BC′, A′D′, AC′, A′B′C

最小被覆

F = BC′ + A′D′ + AC′

L = 6

答え

L = 6

7.整数論と合同式

答え: 29⁻¹ mod 79 = 30

逆元と合同式：a が n を法として逆元をもつのは、gcd(a, n) = 1 のときに限ります。拡張ユークリッドの互除法で 1 = s·n + t·a と書くと、a⁻¹ ≡ t (mod n) です。gcd(a, n) = 1 のとき、合同式 a·x ≡ b (mod n) の解は x ≡ a⁻¹·b です。法が互いに素な 2 つの合同式 x ≡ r₁ (mod m₁) と x ≡ r₂ (mod m₂) には、m₁·m₂ を法として 1 つの解があります（中国の剰余定理）。オイラーの φ(n) は、1 から n までの数のうち n と互いに素なものの個数です：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

拡張ユークリッドの互除法

各余り r は r ≡ t·29 (mod 79) と書けます。

r = 79, t = 0

r = 29, q = 2, t = 1

r = 21, q = 1, t = −2

r = 8, q = 2, t = 3

r = 5, q = 1, t = −8

r = 3, q = 1, t = 11

r = 2, q = 1, t = −19

r = 1, q = 2, t = 30

逆行列

1 ≡ 30·29 (mod 79)

x = 30

確認: 29·30 = 870 = 11·79 + 1

答え

29⁻¹ mod 79 = 30

8.整数論と合同式

答え: d = 133

冪剰余と RSA：aᵏ mod n は反復二乗法で計算します：k を 2 進数で書き、二乗し、毎回簡約し、ビットが 1 の冪を掛けます。フェルマー：素数 p が a を割り切らないとき aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) なので、指数は p − 1 を法として簡約できます。RSA：素数 p と q を選び、n = p·q、φ(n) = (p − 1)(q − 1) とします。公開指数 e は φ(n) と互いに素で、秘密指数は d = e⁻¹ mod φ(n) です。暗号化は c = mᵉ mod n、復号は m = cᵈ mod n で行います。

法とトーシェント関数

n = 17·19 = 323

φ(n) = 16·18 = 288

拡張ユークリッドの互除法

r = 288, t = 0

r = 13, q = 22, t = 1

r = 2, q = 6, t = −22

r = 1, q = 2, t = 133

秘密指数

d = 133

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇数次数の頂点

オイラー閉路

答え

オイラー閉路

14.グラフ理論

答え: D

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

1. A (0): C: 1

2. C (1): B: 6, E: 2

3. E (2): D: 7, F: 11

4. B (6)

5. D (7)

UDP の応答が切り詰められると、リゾルバーは TCP で再試行します。ネームサーバー間のゾーン転送も大量のデータを運ぶため TCP を使います。

答え

C · UDP には大きすぎる応答と、ゾーン転送の場合

19.IPv4 サブネット化

答え: H = 14

IPv4 サブネット化：アドレスは 32 ビットです。プレフィックス /p は先頭の何ビットがネットワークを表すかを示し、残りの 32 − p ビットでホストを番号付けします。サブネットには 2³²⁻ᵖ 個のアドレスがありますが、最初（ネットワークアドレス）と最後（ブロードキャストアドレス）はホストに割り当てられないため、2³²⁻ᵖ − 2 台のホストが収まります。例外：/31（ポイントツーポイントリンク、RFC 3021）は 2 つのアドレスを両方ともホストに使い、/32 は単一のアドレス（単一ホストまたはループバック）です。

借りるビット数

2⁴ = 16 ≥ 10 → b = 4, /28

サブネットあたりのホスト数

2⁴ − 2 = 14

答え

H = 14

20.IPv4 サブネット化

答え: x = 190

ブロックサイズ

2⁶ = 64

このホストのサブネット

ネットワーク: ⌊158/64⌋·64 = 128

ブロードキャスト: 128 + 64 − 1 = 191

使えるホスト: 129 … 190

答え

x = 190

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