コンピュータサイエンス基礎：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記数法

位取り: 2 進数 2^k、8 進数 8^k、16 進数 16^k
10 進数へ: Σ d_k·b^k
10 進数から: 基数で割り、余りを下から上へ読む
16 進数 ↔ 2 進数: 16 進数 1 桁 = 4 ビット
2 の補数: ビットを反転して 1 を足す

命題論理と証明

真理値表の行: 2ⁿ
含意: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
含意の否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
同値（双条件）: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
ド・モルガンの法則: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配法則: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量化子の否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定式（modus ponens）、否定式（modus tollens）: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

解き方

異なる変数の数を数えます：真理値表の行数は 2ⁿ で、最初の行はすべて 1 です。
部分式ごとに列を用意し、内側から順に列を埋めていきます。
各結合子の規則を適用します：→ が 0 になるのは 1 → 0 のときだけ、↔ は両辺が一致するとき 1 です。
同値の判定では最後の列を行ごとに比べます。論証の判定では、すべての前提が 1 である行だけを見ます。
量化された文を否定するには、¬ を内側へ移し、∀ と ∃ を入れ替え、内側の式を否定します。

デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

基本ゲート: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
ブールの規則: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
ド・モルガンの法則: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
カルノー図の並び順: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ 個のセルのグループ: k 個の変数が消える
4 対 1 マルチプレクサ: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
フリップフロップ: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
カウンタ: n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； f_out = f_clk/N
リップルカウンタ: f_max = 1/(n·t_pd)
リングカウンタとジョンソンカウンタ: n 状態と 2n 状態

解き方

回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。

整数論と合同式

余りのある割り算: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ユークリッド: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆行列: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
一次合同式: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
オイラーのトーシェント関数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
フェルマー: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

解き方

まずすべての数を n で割った余りに直します。余りは 0 から n − 1 の間です。
最大公約数は、ユークリッドの互除法で割り算を繰り返して求めます。最後の 0 でない余りが最大公約数です。
逆元は拡張ユークリッドの互除法で求め、a の係数を取ります。負なら n を足します。
a·x ≡ b は a⁻¹ を掛けて解きます。2 つの合同式は x = r₁ + m₁k とおいて組み合わせます。
べき乗では、指数を 2 進数で書いて平方を繰り返します。RSA では d = e⁻¹ mod φ(n)、φ(n) = (p − 1)(q − 1) です。

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

IPv4 サブネット化

サブネットあたりのホスト数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ブロックサイズ: 256 − (mask octet)
ネットワークアドレス: IP AND マスク
ブロードキャストアドレス: IP OR (NOT マスク)：ホスト部のビットをすべて 1 にする
n ビット借りたときのサブネット数: 2ⁿ

2演習問題

1.記数法ふつう

−25 を 8 ビットの 2 の補数パターンで表しなさい。そのパターンを符号なし 2 進数として読むと、10 進数での値 U はいくつですか？

N = −258 bit

U =

2.記数法むずかしい

ビットを 1000 1011 OR 0100 0011 の 8 ビットの結果に設定します。結果の値 R は 10 進でいくつですか？

1000 1011OR0100 0011

R =

3.命題論理と証明ふつう

この論理式 (r ↔ p) → ((p ∨ q) ∨ r) は、真理値表の 8 行のうち何行で真になりますか？この数を N とします。

(r ↔ p) → ((p ∨ q) ∨ r)

N =

4.命題論理と証明むずかしい

否定を最も内側まで移したとき、¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)) と同値な主張はどれですか？クリックしてください。

¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x))

1∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
2∃x ∃y (R(x, y) → ¬R(y, x))
3∃x ∃y (¬R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
4∀x ∀y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう

カルノー図を使って F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 13, 14) の最小の積和形（SOP）を求めてください。リテラル L は合計でいくつ含まれますか（プライム付きの変数も 1 つのリテラルと数えます）？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 13, 14)

L =

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい

正エッジトリガの T フリップフロップが Q = 0 から始まり、8 回の立ち上がりクロックエッジで図の入力を受け取ります。Q は何回N状態を変えますか？

Q₀ = 0T

N =

7.整数論と合同式ふつう

x ≡ 3 (mod 9) かつ x ≡ 7 (mod 13) を満たす最小の正の整数 x を求めてください。

x ≡ 3 (mod 9)x ≡ 7 (mod 13)

x =

8.整数論と合同式むずかしい

21x ≡ 12 (mod 24) を解いてください。最小の正の解 x を答えてください。

21x ≡ 12 (mod 24)

x =

9.アルゴリズムと計算量ふつう

ならし解析（amortised analysis）は何を測りますか？

A最悪の操作列にわたる操作 1 回あたりの平均コスト
B操作列のどこかにある、最もコストの高い 1 回の操作のコスト
Cランダムな入力に対する期待コスト
D最良の入力に対するアルゴリズムのコスト

10.アルゴリズムと計算量むずかしい

決定不能な問題と扱いにくい問題の違いは何ですか？

Aどちらもアルゴリズムがまったくないことを意味する
B決定不能な問題は NP に属し、扱いにくい問題は P に属する
C扱いにくい問題はどのアルゴリズムでも解けず、決定不能な問題は指数時間を必要とするだけである
D決定不能な問題にはすべての入力で解くアルゴリズムがなく、扱いにくい問題にはあるが遅すぎる

11.データ構造ふつう

ある二分木の根は 1 で、左の子が 2、右の子が 3 です。ノード 2 の子は 4（左）と 5（右）です。帰りがけ順の走査はどれですか。

A4 2 5 1 3
B4 5 2 3 1
C1 2 4 5 3
D5 4 3 2 1

12.データ構造むずかしい

赤黒木が満たさなければならない性質はどれですか。

A根は赤でなければならない
Bすべてのノードが赤でなければならない
Cすべての赤ノードの子は赤でなければならないので、赤ノードは葉まで途切れなく連なる
Dあるノードからその子孫の葉までのすべての経路に含まれる黒ノードの数が等しい

13.グラフ理論ふつう

完全グラフ K₇ には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K₇

H =

14.グラフ理論むずかしい

F から E への長さ 3 の歩道はいくつありますか？歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 3

N =

15.データベースと SQLふつう

SELECT price * 2 AS double_price FROM t WHERE double_price > 10 が多くのデータベースで失敗するのはなぜですか？

A別名にアンダースコアを含めてはいけないから
BWHERE はテキスト列しか比較できないから
CSELECT リストでは算術演算が許されないから
DWHERE は SELECT リストより先に評価されるので、別名がまだ存在しないから

16.データベースと SQLむずかしい

当直の医師 2 人が、それぞれ相手がまだ当直であることを確認し、2 人とも同時に当直を外れます。ここでスナップショット分離がなお許してしまう異常はどれですか？

Aダーティライト
Bダーティリード
C1 つのトランザクション内の反復不能読み取り
D書き込みスキュー

17.コンピュータネットワークふつう

ホスト名を IPv6 アドレスに対応づける DNS レコードの種類はどれですか？

AA
BCNAME
CAAAA
DMX

18.コンピュータネットワークむずかしい

サイトが自己署名証明書を提示すると、ブラウザーが警告を出すのはなぜですか？

Aその証明書は常に期限切れだから
Bその鍵がそのサイトのものであることを保証する信頼された認証局がないから
C自己署名証明書はまったく暗号化を使わないので、通信は平文で送られる
Dサイトが HTTPS ではなく HTTP を使っているはずだから

19.IPv4 サブネット化ふつう

ネットワーク 192.168.10.0/24 を、少なくとも 30 個の同じ大きさのサブネットに分けます。借りるビットをできるだけ少なくすると、各サブネットで使えるホスト数 H はいくつですか？

192.168.10.0/2430 subnets

H =

20.IPv4 サブネット化むずかしい

あるホストのアドレスは 10.20.134.202/29 です。そのサブネットで最後に使えるホストアドレスの第 4 オクテット x はいくつですか？

10.20.134.202/29

x =

3溶液

1.記数法

答え: U = 231

位取り記数法：各桁の値は、その数字に基数のべき乗を掛けたものです。2 進数では各桁の重みが 1、2、4、8、16、…、16 進数では 1、16、256、… で、A–F は 10–15 を表します。8 ビットの 2 の補数では、最上位ビットの重みが +128 ではなく −128 になり、こうして負の数を表します。

反転して 1 を足す

25 = 0001 1001

反転後: 1110 0110

+1 → 1110 0111

符号なしとして読む

1110 0111₂ = 256 − 25 = 231

答え

U = 231

2.記数法

答え: R = 203

ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。

ビットごとに

OR は、少なくとも一方のビットが 1 のところで 1 になります。

1000 1011

OR 0100 0011

= 1100 1011

結果の値

1100 1011₂ = 203

答え

R = 203

3.命題論理と証明

答え: N = 7

真理値表：n 個の異なる変数をもつ論理式には、真理値のすべての組み合わせに対応する 2ⁿ 行があります（1 = 真、0 = 偽）。内側から順に進め、部分式ごとに列を用意します。¬a は値を反転させ、a ∧ b は両方が 1 のときだけ 1、a ∨ b は両方が 0 のときだけ 0、a → b は a = 1 かつ b = 0 のときだけ 0、a ↔ b は両辺が等しいとき 1 です。

真理値表を行ごとに見る

p = 1, q = 1, r = 1: r ↔ p = 1, p ∨ q = 1, (p ∨ q) ∨ r = 1, (r ↔ p) → ((p ∨ q) ∨ r) = 1

p = 1, q = 1, r = 0: r ↔ p = 0, p ∨ q = 1, (p ∨ q) ∨ r = 1, (r ↔ p) → ((p ∨ q) ∨ r) = 1

p = 1, q = 0, r = 1: r ↔ p = 1, p ∨ q = 1, (p ∨ q) ∨ r = 1, (r ↔ p) → ((p ∨ q) ∨ r) = 1

p = 1, q = 0, r = 0: r ↔ p = 0, p ∨ q = 1, (p ∨ q) ∨ r = 1, (r ↔ p) → ((p ∨ q) ∨ r) = 1

p = 0, q = 1, r = 1: r ↔ p = 0, p ∨ q = 1, (p ∨ q) ∨ r = 1, (r ↔ p) → ((p ∨ q) ∨ r) = 1

p = 0, q = 1, r = 0: r ↔ p = 1, p ∨ q = 1, (p ∨ q) ∨ r = 1, (r ↔ p) → ((p ∨ q) ∨ r) = 1

p = 0, q = 0, r = 1: r ↔ p = 0, p ∨ q = 0, (p ∨ q) ∨ r = 1, (r ↔ p) → ((p ∨ q) ∨ r) = 1

p = 0, q = 0, r = 0: r ↔ p = 1, p ∨ q = 0, (p ∨ q) ∨ r = 0, (r ↔ p) → ((p ∨ q) ∨ r) = 0

値が 1 の行を数える

(r ↔ p) → ((p ∨ q) ∨ r): 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0

N = 7

答え

N = 7

4.命題論理と証明

答え: ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

量化子と論証：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)、¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。否定を内側へ移し、通過する量化子をすべて入れ替え、内側の式は ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b のような命題論理の法則で否定します。論証は、すべての前提が 1 であるどの行でも結論が 1 のとき、妥当です。前提が真で結論が偽になる行が 1 つでもあれば、それは反例であり、その論証が妥当でないことを示します。

否定を内側へ移す

¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)) ≡ ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

答え

∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

ほかの選択肢は、量化子がそのままになっているか、量化子の順序が変わっているか、内側の式の否定が間違っているかのどれかです。

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: L = 6

カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。

1 をグループ化する

各グループは 2ᵏ 個のセルからなる長方形です。端のセルは、反対側の端のセルと隣り合っています。

D′

A′B′

ABC′

最小の SOP 形

F = D′ + A′B′ + ABC′

L = 6

答え

L = 6

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 2

フリップフロップとカウンタ：フリップフロップは、有効なクロックエッジでだけ変化します。D は入力をコピーし（Q⁺ = D）、T は T = 1 のときトグルし、JK は 00 で保持、01 でリセット、10 でセット、11 でトグルします。n ビットの 2 進カウンタには 2ⁿ 個の状態があり、2ⁿ を法として数えます。mod-N カウンタは 0, 1, …, N − 1 と数えて 0 に戻り、2ⁿ ≥ N を満たす最小の n 個のフリップフロップが必要です。リップルカウンタの各段は周波数を半分にするので、mod-N カウンタの最後の出力は f_clk/N で動作します。n 個のフリップフロップのジョンソンカウンタには 2n 個の状態があり、リングカウンタには n 個あります。

エッジごとの Q

T フリップフロップは、T = 1 の立ち上がりエッジごとにトグルし、T = 0 では保持します。

1: T = 1 → Q = 1

2: T = 0 → Q = 1

3: T = 0 → Q = 1

4: T = 0 → Q = 1

5: T = 1 → Q = 0

6: T = 0 → Q = 0

7: T = 0 → Q = 0

8: T = 0 → Q = 0

変化を数える

0 → 1 → 1 → 1 → 1 → 0 → 0 → 0 → 0

N = 2

答え

N = 2

7.整数論と合同式

答え: x = 111

逆元と合同式：a が n を法として逆元をもつのは、gcd(a, n) = 1 のときに限ります。拡張ユークリッドの互除法で 1 = s·n + t·a と書くと、a⁻¹ ≡ t (mod n) です。gcd(a, n) = 1 のとき、合同式 a·x ≡ b (mod n) の解は x ≡ a⁻¹·b です。法が互いに素な 2 つの合同式 x ≡ r₁ (mod m₁) と x ≡ r₂ (mod m₂) には、m₁·m₂ を法として 1 つの解があります（中国の剰余定理）。オイラーの φ(n) は、1 から n までの数のうち n と互いに素なものの個数です：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

1 番目の合同式

x = 3 + 9k

2 番目の合同式

3 + 9k ≡ 7 (mod 13) → 9k ≡ 4 (mod 13)

k ≡ 3·4 ≡ 12 (mod 13)

結果

x = 3 + 9·12 = 111

x = 111

確認: 111 mod 9 = 3, 111 mod 13 = 7

答え

x = 111

8.整数論と合同式

答え: x = 4

gcd で割る

gcd(21, 24) = 3

7x ≡ 4 (mod 8)

簡約した合同式を解く

7⁻¹ ≡ 7 (mod 8) → x ≡ 4 (mod 8)

24 を法とする解

x ∈ {4, 12, 20}

数える

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

答え

H = 360

14.グラフ理論

答え: N = 4

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。K_n には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 1 0 0 0 0

B: 1 0 1 1 1 0

C: 0 1 0 0 1 0

B · その鍵がそのサイトのものであることを保証する信頼された認証局がないから

19.IPv4 サブネット化

答え: H = 6

IPv4 サブネット化：アドレスは 32 ビットです。プレフィックス /p は先頭の何ビットがネットワークを表すかを示し、残りの 32 − p ビットでホストを番号付けします。サブネットには 2³²⁻ᵖ 個のアドレスがありますが、最初（ネットワークアドレス）と最後（ブロードキャストアドレス）はホストに割り当てられないため、2³²⁻ᵖ − 2 台のホストが収まります。例外：/31（ポイントツーポイントリンク、RFC 3021）は 2 つのアドレスを両方ともホストに使い、/32 は単一のアドレス（単一ホストまたはループバック）です。

借りるビット数

2⁵ = 32 ≥ 30 → b = 5, /29

サブネットあたりのホスト数

2³ − 2 = 6

答え

H = 6

20.IPv4 サブネット化

答え: x = 206

ブロックサイズ

2³ = 8

このホストのサブネット

ネットワーク: ⌊202/8⌋·8 = 200

ブロードキャスト: 200 + 8 − 1 = 207

使えるホスト: 201 … 206

答え

x = 206

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