コンピュータサイエンス基礎：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記数法

位取り: 2 進数 2^k、8 進数 8^k、16 進数 16^k
10 進数へ: Σ d_k·b^k
10 進数から: 基数で割り、余りを下から上へ読む
16 進数 ↔ 2 進数: 16 進数 1 桁 = 4 ビット
2 の補数: ビットを反転して 1 を足す

命題論理と証明

真理値表の行: 2ⁿ
含意: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
含意の否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
同値（双条件）: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
ド・モルガンの法則: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配法則: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量化子の否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定式（modus ponens）、否定式（modus tollens）: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

解き方

異なる変数の数を数えます：真理値表の行数は 2ⁿ で、最初の行はすべて 1 です。
部分式ごとに列を用意し、内側から順に列を埋めていきます。
各結合子の規則を適用します：→ が 0 になるのは 1 → 0 のときだけ、↔ は両辺が一致するとき 1 です。
同値の判定では最後の列を行ごとに比べます。論証の判定では、すべての前提が 1 である行だけを見ます。
量化された文を否定するには、¬ を内側へ移し、∀ と ∃ を入れ替え、内側の式を否定します。

デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

基本ゲート: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
ブールの規則: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
ド・モルガンの法則: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
カルノー図の並び順: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ 個のセルのグループ: k 個の変数が消える
4 対 1 マルチプレクサ: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
フリップフロップ: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
カウンタ: n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； f_out = f_clk/N
リップルカウンタ: f_max = 1/(n·t_pd)
リングカウンタとジョンソンカウンタ: n 状態と 2n 状態

解き方

回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。

整数論と合同式

余りのある割り算: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ユークリッド: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆行列: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
一次合同式: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
オイラーのトーシェント関数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
フェルマー: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

解き方

まずすべての数を n で割った余りに直します。余りは 0 から n − 1 の間です。
最大公約数は、ユークリッドの互除法で割り算を繰り返して求めます。最後の 0 でない余りが最大公約数です。
逆元は拡張ユークリッドの互除法で求め、a の係数を取ります。負なら n を足します。
a·x ≡ b は a⁻¹ を掛けて解きます。2 つの合同式は x = r₁ + m₁k とおいて組み合わせます。
べき乗では、指数を 2 進数で書いて平方を繰り返します。RSA では d = e⁻¹ mod φ(n)、φ(n) = (p − 1)(q − 1) です。

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

IPv4 サブネット化

サブネットあたりのホスト数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ブロックサイズ: 256 − (mask octet)
ネットワークアドレス: IP AND マスク
ブロードキャストアドレス: IP OR (NOT マスク)：ホスト部のビットをすべて 1 にする
n ビット借りたときのサブネット数: 2ⁿ

2演習問題

1.記数法ふつう

8 ビットの 2 の補数で −67 を格納するようにビットを設定します。符号なしの数として読むと、このパターンの値 U はいくつですか？

N = −678 bit

U =

2.記数法むずかしい

あるシステムで、2945 個の項目それぞれに同じ長さの固有の 2 進コードを割り当てます。必要なビット数 b は最小でいくつですか？

2945

b = bit

3.命題論理と証明ふつう

q → (p ∨ r) を対偶によって証明しようとしています。代わりに証明する含意はどれですか？クリックしてください。

q → (p ∨ r)

1(p ∨ r) → q
2¬q → ¬(p ∨ r)
3¬(p ∨ r) → ¬q
4q ∧ ¬(p ∨ r)

4.命題論理と証明むずかしい

否定を最も内側まで移したとき、¬∀x (F(x) → G(x)) と同値な主張はどれですか？クリックしてください。

¬∀x (F(x) → G(x))

1∀x (F(x) → ¬G(x))
2∀x (F(x) ∧ ¬G(x))
3∃x (¬F(x) ∧ G(x))
4∃x (F(x) ∧ ¬G(x))

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう

カルノー図を使って F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 4, 9, 14) の最小の積和形（SOP）を求めてください。リテラル L は合計でいくつ含まれますか（プライム付きの変数も 1 つのリテラルと数えます）？

F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 4, 9, 14)

L =

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい

4 ビット 2 進ダウンカウンタは 1（10 進数、Q = 0001）から始まります。42 クロックパルスのあとの計数値 Q（10 進数）はいくつですか？

Q₀ = 142n = 4

Q =

7.整数論と合同式ふつう

37x ≡ 46 (mod 53) を解いてください。0 < x < 53 を満たす解 x を答えてください。

37x ≡ 46 (mod 53)

x =

8.整数論と合同式むずかしい

ある RSA 鍵は p = 19、q = 41、e = 7 を使います。暗号文 c = 383 を復号して、メッセージ m を求めてください。

p = 19q = 41e = 7c = 383

m =

9.アルゴリズムと計算量ふつう

ワーシャル－フロイド法は何を、どれくらいの速さで計算しますか？

Aトポロジカル順序を O(V²) で
B最小全域木を O(E log V) で
Cすべての頂点対の間の最短経路を O(V³) で
D1 つの始点から他のすべての頂点への最短経路を O(V + E) で

10.アルゴリズムと計算量むずかしい

1 回のインクリメントで多くのビットが反転することがあるとして、2 進カウンタのインクリメントのならしコストは何ですか？

Aインクリメント 1 回あたり O(log n)
Bインクリメント 1 回あたり O(1)
Cインクリメント 1 回あたり O(n)
Dインクリメント 1 回あたり O(n log n)

11.データ構造ふつう

ある二分木の根は 1 で、左の子が 2、右の子が 3 です。ノード 2 の子は 4（左）と 5（右）です。行きがけ順の走査はどれですか。

A1 2 3 4 5
B1 2 4 5 3
C4 5 2 3 1
D4 2 5 1 3

12.データ構造むずかしい

ある AVL ノードは、その左の子の右部分木が高くなりすぎたために平衡が崩れています（左右の場合）。どのような修正が適用されますか。

A左の子で左回転し、次にそのノードで右回転
B左の子で右回転し、次にそのノードで左回転
Cそのノードで 1 回の左回転
Dそのノードで 1 回の右回転

13.グラフ理論ふつう

完全グラフ K₆ には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K₆

H =

14.グラフ理論むずかしい

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F

d(F) =

15.データベースと SQLふつう

テーブルに col が NULL の行があります。WHERE col = NULL はどの行を返しますか？

AIS NULL の場合と同様に、col が NULL の行だけ
Bテーブルのすべての行
C比較が不明（UNKNOWN）になるので、行を返さない
Dどのデータベースでもエラー

16.データベースと SQLむずかしい

あるアプリは UPDATE item SET qty = 4, version = 8 WHERE id = 1 AND version = 7 を実行し、更新された行がなければ競合を報告します。これはどの手法ですか？

Aデータベースのシャーディング
B行ロックを用いる厳格な 2 相ロック
C楽観的同時実行制御
Dログ先行書き込み

17.コンピュータネットワークふつう

VLAN の主な目的は何ですか？

Aすべてのスイッチポートの速度を上げること
B1 つの物理的なスイッチネットワークを別々のブロードキャストドメインに分けること
C各デバイスにグローバル IP アドレスを与えること
D他の部署が読めないよう、スイッチ間のすべてのトラフィックを暗号化すること

18.コンピュータネットワークむずかしい

TCP/IP モデルで、ポート番号を付加するのはどの層ですか？

Aリンク層
Bトランスポート層
Cインターネット層
Dアプリケーション層

19.IPv4 サブネット化ふつう

ネットワーク 10.160.180.0/22 を、プレフィックス /27 の等しいサブネットに分割します。サブネットはいくつ N ありますか？

10.160.180.0/22/27

N =

20.IPv4 サブネット化むずかしい

あるルータは次のネットワークへの経路をもっています：10.151.40.0/24, 10.151.41.0/24, 10.151.42.0/24。それらすべてをカバーする 1 つの集約経路の最長のプレフィックス長 p はいくつですか？

10.151.40.0/24 … 10.151.42.0/24

p =

3溶液

1.記数法

答え: U = 189

ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。

反転して 1 を足す

67 = 0100 0011

反転後: 1011 1100

+1 → 1011 1101

符号なしとして読む

1011 1101₂ = 256 − 67 = 189

答え

U = 189

2.記数法

答え: b = 12 bit

位取り記数法：各桁の値は、その数字に基数のべき乗を掛けたものです。2 進数では各桁の重みが 1、2、4、8、16、…、16 進数では 1、16、256、… で、A–F は 10–15 を表します。8 ビットの 2 の補数では、最上位ビットの重みが +128 ではなく −128 になり、こうして負の数を表します。

2 のべき乗

2¹¹ = 2048 < 2945

2¹² = 4096 ≥ 2945

答え

b = 12

3.命題論理と証明

答え: ¬(p ∨ r) → ¬q

論理的同値：2 つの論理式は、真理値表のすべての行で同じ値をとるとき同値（≡）です。恒真式（トートロジー）はすべての行で 1、矛盾（恒偽式）はすべての行で 0、どちらでもないものは充足可能な非恒真式です。役に立つ法則：ド・モルガンの法則 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b と ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b、a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（対偶）、¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b、そして分配法則 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

含意の各部分

a = q, b = p ∨ r

対偶

¬b → ¬a = ¬(p ∨ r) → ¬q

答え

¬(p ∨ r) → ¬q

対偶は元の主張と同値なので、それを証明すれば元の主張が証明できます。

4.命題論理と証明

答え: ∃x (F(x) ∧ ¬G(x))

量化子と論証：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)、¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。否定を内側へ移し、通過する量化子をすべて入れ替え、内側の式は ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b のような命題論理の法則で否定します。論証は、すべての前提が 1 であるどの行でも結論が 1 のとき、妥当です。前提が真で結論が偽になる行が 1 つでもあれば、それは反例であり、その論証が妥当でないことを示します。

否定を内側へ移す

¬∀x (F(x) → G(x)) ≡ ∃x (F(x) ∧ ¬G(x))

答え

∃x (F(x) ∧ ¬G(x))

ほかの選択肢は、量化子がそのままになっているか、量化子の順序が変わっているか、内側の式の否定が間違っているかのどれかです。

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: L = 15

カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。

1 をグループ化する

各グループは 2ᵏ 個のセルからなる長方形です。端のセルは、反対側の端のセルと隣り合っています。

A′B′C

A′BC′D′

AB′C′D

ABCD′

最小の SOP 形

F = A′B′C + A′BC′D′ + AB′C′D + ABCD′

L = 15

答え

L = 15

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: Q = 7

フリップフロップとカウンタ：フリップフロップは、有効なクロックエッジでだけ変化します。D は入力をコピーし（Q⁺ = D）、T は T = 1 のときトグルし、JK は 00 で保持、01 でリセット、10 でセット、11 でトグルします。n ビットの 2 進カウンタには 2ⁿ 個の状態があり、2ⁿ を法として数えます。mod-N カウンタは 0, 1, …, N − 1 と数えて 0 に戻り、2ⁿ ≥ N を満たす最小の n 個のフリップフロップが必要です。リップルカウンタの各段は周波数を半分にするので、mod-N カウンタの最後の出力は f_clk/N で動作します。n 個のフリップフロップのジョンソンカウンタには 2n 個の状態があり、リングカウンタには n 個あります。

完全な周期

16 パルスごとに、カウンタは同じ状態に戻ります。

42 = 2·16 + 10

残りのパルスのあとの計数値

Q = (1 − 10) mod 16 = 7

Q = 0111₂

答え

Q = 7

7.整数論と合同式

答え: x = 17

逆元と合同式：a が n を法として逆元をもつのは、gcd(a, n) = 1 のときに限ります。拡張ユークリッドの互除法で 1 = s·n + t·a と書くと、a⁻¹ ≡ t (mod n) です。gcd(a, n) = 1 のとき、合同式 a·x ≡ b (mod n) の解は x ≡ a⁻¹·b です。法が互いに素な 2 つの合同式 x ≡ r₁ (mod m₁) と x ≡ r₂ (mod m₂) には、m₁·m₂ を法として 1 つの解があります（中国の剰余定理）。オイラーの φ(n) は、1 から n までの数のうち n と互いに素なものの個数です：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

37 の逆元

r = 53, t = 0

r = 37, q = 1, t = 1

r = 16, q = 2, t = −1

r = 5, q = 3, t = 3

r = 1, q = 5, t = −10

37⁻¹ ≡ 43 (mod 53)

解く

x ≡ 43·46 = 1978 ≡ 17 (mod 53)

確認: 37·17 = 629 ≡ 46 (mod 53)

答え

x = 17

8.整数論と合同式

答え: m = 413

冪剰余と RSA：aᵏ mod n は反復二乗法で計算します：k を 2 進数で書き、二乗し、毎回簡約し、ビットが 1 の冪を掛けます。フェルマー：素数 p が a を割り切らないとき aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) なので、指数は p − 1 を法として簡約できます。RSA：素数 p と q を選び、n = p·q、φ(n) = (p − 1)(q − 1) とします。公開指数 e は φ(n) と互いに素で、秘密指数は d = e⁻¹ mod φ(n) です。暗号化は c = mᵉ mod n、復号は m = cᵈ mod n で行います。

秘密指数

n = 779, φ(n) = 720

d = 7⁻¹ mod 720 = 103

反復二乗法で復号する

103 = 64 + 32 + 4 + 2 + 1

383¹ ≡ 383 (mod 779)

383² ≡ 237 (mod 779)

383⁴ ≡ 81 (mod 779)

383⁸ ≡ 329 (mod 779)

383¹⁶ ≡ 739 (mod 779)

383³² ≡ 42 (mod 779)

383⁶⁴ ≡ 206 (mod 779)

383¹⁰³ ≡ 383·237·81·42·206 ≡ 413 (mod 779)

メッセージ

m = 413

数える

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

答え

H = 60

14.グラフ理論

答え: d(F) = 19

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 3, C: 12

B (3): C: 4, D: 17, E: 15

C (4)

E (15): F: 30

D (17): F: 19

F (19)

最短経路

A → B → D → F

借りたビット

27 − 22 = 5

サブネット数

N = 2⁵ = 32

答え

N = 32

各 /27 サブネットには 2⁵ − 2 = 30 個の使えるホストがあります。

20.IPv4 サブネット化

答え: p = 22

経路集約：集約経路 a.b.c.0/p は、最初の p ビットが一致するすべてのネットワークをカバーします。最初と最後のネットワークの異なるオクテットを 2 進数で書きます。共通する先頭のビット数に、それより前のオクテットのビット数を加えたものが最長の集約プレフィックスです。

ビットを比べる

40 = 00101000

42 = 00101010

共通する先頭のビット：6

プレフィックス長

p = 16 + 6 = 22

答え

p = /22

集約経路：10.151.40.0/22 （リストにない 1 個のネットワークもカバーします）。

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