コンピュータサイエンス基礎：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

記数法

位取り: 2 進数 2^k、8 進数 8^k、16 進数 16^k
10 進数へ: Σ d_k·b^k
10 進数から: 基数で割り、余りを下から上へ読む
16 進数 ↔ 2 進数: 16 進数 1 桁 = 4 ビット
2 の補数: ビットを反転して 1 を足す

命題論理と証明

真理値表の行: 2ⁿ
含意: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
含意の否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
同値（双条件）: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
ド・モルガンの法則: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配法則: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量化子の否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定式（modus ponens）、否定式（modus tollens）: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

解き方

異なる変数の数を数えます：真理値表の行数は 2ⁿ で、最初の行はすべて 1 です。
部分式ごとに列を用意し、内側から順に列を埋めていきます。
各結合子の規則を適用します：→ が 0 になるのは 1 → 0 のときだけ、↔ は両辺が一致するとき 1 です。
同値の判定では最後の列を行ごとに比べます。論証の判定では、すべての前提が 1 である行だけを見ます。
量化された文を否定するには、¬ を内側へ移し、∀ と ∃ を入れ替え、内側の式を否定します。

デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

基本ゲート: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
ブールの規則: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
ド・モルガンの法則: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
カルノー図の並び順: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ 個のセルのグループ: k 個の変数が消える
4 対 1 マルチプレクサ: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
フリップフロップ: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
カウンタ: n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； f_out = f_clk/N
リップルカウンタ: f_max = 1/(n·t_pd)
リングカウンタとジョンソンカウンタ: n 状態と 2n 状態

解き方

回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。

整数論と合同式

余りのある割り算: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ユークリッド: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆行列: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
一次合同式: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
オイラーのトーシェント関数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
フェルマー: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

解き方

まずすべての数を n で割った余りに直します。余りは 0 から n − 1 の間です。
最大公約数は、ユークリッドの互除法で割り算を繰り返して求めます。最後の 0 でない余りが最大公約数です。
逆元は拡張ユークリッドの互除法で求め、a の係数を取ります。負なら n を足します。
a·x ≡ b は a⁻¹ を掛けて解きます。2 つの合同式は x = r₁ + m₁k とおいて組み合わせます。
べき乗では、指数を 2 進数で書いて平方を繰り返します。RSA では d = e⁻¹ mod φ(n)、φ(n) = (p − 1)(q − 1) です。

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

IPv4 サブネット化

サブネットあたりのホスト数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ブロックサイズ: 256 − (mask octet)
ネットワークアドレス: IP AND マスク
ブロードキャストアドレス: IP OR (NOT マスク)：ホスト部のビットをすべて 1 にする
n ビット借りたときのサブネット数: 2ⁿ

2演習問題

1.記数法ふつう

8 ビットの 2 の補数で −49 を格納するようにビットを設定します。符号なしの数として読むと、このパターンの値 U はいくつですか？

N = −498 bit

U =

2.記数法むずかしい

ビットを 0111 1110 XOR 0100 1101 の 8 ビットの結果に設定します。結果の値 R は 10 進でいくつですか？

0111 1110XOR0100 1101

R =

3.命題論理と証明ふつう

q ∨ (r ∧ p) と論理的に同値な論理式はどれですか？クリックしてください。

q ∨ (r ∧ p)

1(q ∨ r) ∧ p
2(q ∧ r) ∨ (q ∧ p)
3(q ∨ r) ∧ (q ∨ p)
4q ∧ (r ∨ p)

4.命題論理と証明むずかしい

否定を最も内側まで移したとき、¬∀x (A(x) → ∃y R(x, y)) と同値な主張はどれですか？クリックしてください。

¬∀x (A(x) → ∃y R(x, y))

1∃x (¬A(x) ∧ ∃y R(x, y))
2∃x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
3∀x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
4∃x (A(x) → ∀y ¬R(x, y))

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう

カルノー図を使って F(A, B, C) = Σm(0, 4, 5) の最小の積和形（SOP）を求めてください。積項 N はいくつありますか？

F(A, B, C) = Σm(0, 4, 5)

N =

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい

4 ビットのシフトレジスタ Q₃Q₂Q₁Q₀ が 0000 を保持しています。クロックエッジごとにビットは 1 つ右へシフトし（Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀、Q₀ は失われる）、シリアル入力が Q₃ に入ります。シリアル入力は 6 エッジで 0, 0, 1, 1, 1, 0 です。最終状態 Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ を 10 進数で答えてください。

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 00000, 0, 1, 1, 1, 0

Q =

7.整数論と合同式ふつう

45 を法とする 34 の逆元を求めてください：0 < x < 45 かつ 34·x ≡ 1 (mod 45) を満たす数 x です。

a = 34n = 45

34⁻¹ mod 45 =

8.整数論と合同式むずかしい

ある RSA 鍵は p = 29、q = 31、e = 13 を使います。暗号文 c = 452 を復号して、メッセージ m を求めてください。

p = 29q = 31e = 13c = 452

m =

9.アルゴリズムと計算量ふつう

重みなしグラフでの幅優先探索（BFS）で求められるものはどれですか？

A始点ノードからの辺の数で測った最短経路
B負の辺の重みを含むグラフでの最短経路
C最小全域木
Dすべてのグラフにおけるトポロジカル順序

10.アルゴリズムと計算量むずかしい

次の充足可能性問題のうち、多項式時間で解けることが知られているのはどれですか？

A各節のリテラルがちょうど 3 個の 3-SAT
B回路充足可能性問題
C連言標準形の式に対する一般の SAT
D各節のリテラルが高々 2 個の 2-SAT

11.データ構造ふつう

ある二分木の根は 1 で、左の子が 2、右の子が 3 です。ノード 2 の子は 4（左）と 5（右）です。帰りがけ順の走査はどれですか。

A4 2 5 1 3
B4 5 2 3 1
C5 4 3 2 1
D1 2 4 5 3

12.データ構造むずかしい

クラスカルの最小全域木アルゴリズムで、union-find 構造は何に使われますか。

A開始頂点を選ぶ
B辺の両端点がすでにつながっているかどうかを調べる
C探索中に、各頂点の始点からの現在の距離を格納する
D辺を重みの順にソートする

13.グラフ理論ふつう

完全グラフ K₆ には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K₆

H =

14.グラフ理論むずかしい

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 6|E| = 8

W =

15.データベースと SQLふつう

SELECT name, CASE WHEN grade >= 5.5 THEN 'pass' ELSE 'fail' END FROM results は何を返しますか？

A合格した学生だけ
BSELECT では CASE が使えないためエラー
C合格した学生と不合格の学生の人数
D成績に応じて 'pass' か 'fail' のラベルが付いた各名前

16.データベースと SQLむずかしい

SELECT day, SUM(amount) OVER (ORDER BY day) FROM sales は何を計算しますか？

Aすべての行に全 amount の合計
Bday の順に並べた amount の累計
Cその日の合計だけを持つ、1 日 1 行
D1 日あたりの平均 amount

17.コンピュータネットワークふつう

TCP の 3 ウェイハンドシェイクの目的は何ですか？

Aコネクションをすばやく切断すること
Bコネクションを確立し、シーケンス番号を同期すること
Cデータを暗号化すること
Dデータを送る前に、ホストの IP アドレスを見つけること

18.コンピュータネットワークむずかしい

DNS キャッシュポイズニング攻撃の目的は何ですか？

AWi-Fi のパスワードを盗むこと
Bリゾルバーにドメインの偽の IP アドレスを保存させること
Cサーバーをトラフィックで過負荷にして、問い合わせに応答できなくすること
DDNS サーバーを削除すること

19.IPv4 サブネット化ふつう

ある部署では、1 つのサブネット内に 1418 個のホストアドレスが必要です。十分な大きさとなる最長のプレフィックス長 p（最小のサブネット）はいくつですか？

1418 hosts

p =

20.IPv4 サブネット化むずかしい

ネットワーク 192.168.185.0/24 を、次の LAN 用に VLSM で分割します：A: 103 ホスト, B: 49 ホスト, C: 7 ホスト, D: 23 ホスト。サブネットは .0 から順に、ホスト数が最も多い LAN から、収まる最小のサブネットで割り当てます。LAN C のネットワークアドレスの第 4 オクテット x はいくつですか？

A: 103B: 49C: 7D: 23

x =

3溶液

1.記数法

答え: U = 207

ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。

反転して 1 を足す

49 = 0011 0001

反転後: 1100 1110

+1 → 1100 1111

符号なしとして読む

1100 1111₂ = 256 − 49 = 207

答え

U = 207

2.記数法

答え: R = 51

ビットごとに

XOR は、2 つのビットが異なるところで 1 になります。

0111 1110

XOR 0100 1101

= 0011 0011

結果の値

0011 0011₂ = 51

答え

R = 51

3.命題論理と証明

答え: (q ∨ r) ∧ (q ∨ p)

論理的同値：2 つの論理式は、真理値表のすべての行で同じ値をとるとき同値（≡）です。恒真式（トートロジー）はすべての行で 1、矛盾（恒偽式）はすべての行で 0、どちらでもないものは充足可能な非恒真式です。役に立つ法則：ド・モルガンの法則 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b と ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b、a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（対偶）、¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b、そして分配法則 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

法則

∨ は ∧ に対して分配します：a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

q ∨ (r ∧ p) ≡ (q ∨ r) ∧ (q ∨ p)

真理値表で確かめる

p = 1, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 1, r = 0: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 0, r = 1: 1 | 1 0 1 0

p = 1, q = 0, r = 0: 0 | 0 0 0 0

p = 0, q = 1, r = 1: 1 | 0 1 1 1

p = 0, q = 1, r = 0: 1 | 0 0 1 0

p = 0, q = 0, r = 1: 0 | 0 0 0 0

p = 0, q = 0, r = 0: 0 | 0 0 0 0

答え

(q ∨ r) ∧ (q ∨ p)

縦線の後ろの列は、表示されている順の選択肢です。

4.命題論理と証明

答え: ∃x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

量化子と論証：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)、¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。否定を内側へ移し、通過する量化子をすべて入れ替え、内側の式は ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b のような命題論理の法則で否定します。論証は、すべての前提が 1 であるどの行でも結論が 1 のとき、妥当です。前提が真で結論が偽になる行が 1 つでもあれば、それは反例であり、その論証が妥当でないことを示します。

否定を内側へ移す

¬∀x (A(x) → ∃y R(x, y)) ≡ ∃x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

答え

∃x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

ほかの選択肢は、量化子がそのままになっているか、量化子の順序が変わっているか、内側の式の否定が間違っているかのどれかです。

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 2

カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。

1 をグループ化する

各グループは 2ᵏ 個のセルからなる長方形です。端のセルは、反対側の端のセルと隣り合っています。

B′C′

AB′

最小の SOP 形

F = B′C′ + AB′

N = 2

答え

N = 2

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: Q = 7

フリップフロップとカウンタ：フリップフロップは、有効なクロックエッジでだけ変化します。D は入力をコピーし（Q⁺ = D）、T は T = 1 のときトグルし、JK は 00 で保持、01 でリセット、10 でセット、11 でトグルします。n ビットの 2 進カウンタには 2ⁿ 個の状態があり、2ⁿ を法として数えます。mod-N カウンタは 0, 1, …, N − 1 と数えて 0 に戻り、2ⁿ ≥ N を満たす最小の n 個のフリップフロップが必要です。リップルカウンタの各段は周波数を半分にするので、mod-N カウンタの最後の出力は f_clk/N で動作します。n 個のフリップフロップのジョンソンカウンタには 2n 個の状態があり、リングカウンタには n 個あります。

エッジごとの状態

0000 → 0000 → 0000 → 1000 → 1100 → 1110 → 0111

10 進値

0111₂ = 7

答え

Q = 7

7.整数論と合同式

答え: 34⁻¹ mod 45 = 4

逆元と合同式：a が n を法として逆元をもつのは、gcd(a, n) = 1 のときに限ります。拡張ユークリッドの互除法で 1 = s·n + t·a と書くと、a⁻¹ ≡ t (mod n) です。gcd(a, n) = 1 のとき、合同式 a·x ≡ b (mod n) の解は x ≡ a⁻¹·b です。法が互いに素な 2 つの合同式 x ≡ r₁ (mod m₁) と x ≡ r₂ (mod m₂) には、m₁·m₂ を法として 1 つの解があります（中国の剰余定理）。オイラーの φ(n) は、1 から n までの数のうち n と互いに素なものの個数です：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

拡張ユークリッドの互除法

各余り r は r ≡ t·34 (mod 45) と書けます。

r = 45, t = 0

r = 34, q = 1, t = 1

r = 11, q = 3, t = −1

r = 1, q = 11, t = 4

逆行列

1 ≡ 4·34 (mod 45)

x = 4

確認: 34·4 = 136 = 3·45 + 1

答え

34⁻¹ mod 45 = 4

8.整数論と合同式

答え: m = 133

冪剰余と RSA：aᵏ mod n は反復二乗法で計算します：k を 2 進数で書き、二乗し、毎回簡約し、ビットが 1 の冪を掛けます。フェルマー：素数 p が a を割り切らないとき aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) なので、指数は p − 1 を法として簡約できます。RSA：素数 p と q を選び、n = p·q、φ(n) = (p − 1)(q − 1) とします。公開指数 e は φ(n) と互いに素で、秘密指数は d = e⁻¹ mod φ(n) です。暗号化は c = mᵉ mod n、復号は m = cᵈ mod n で行います。

秘密指数

n = 899, φ(n) = 840

d = 13⁻¹ mod 840 = 517

反復二乗法で復号する

517 = 512 + 4 + 1

452¹ ≡ 452 (mod 899)

452² ≡ 231 (mod 899)

452⁴ ≡ 320 (mod 899)

452⁸ ≡ 813 (mod 899)

452¹⁶ ≡ 204 (mod 899)

452³² ≡ 262 (mod 899)

452⁶⁴ ≡ 320 (mod 899)

452¹²⁸ ≡ 813 (mod 899)

452²⁵⁶ ≡ 204 (mod 899)

452⁵¹² ≡ 262 (mod 899)

452⁵¹⁷ ≡ 452·320·262 ≡ 133 (mod 899)

メッセージ

m = 133

数える

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

答え

H = 60

14.グラフ理論

答え: W = 25

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

DE (1): 取る

CE (2): 取る

AC (4): 取る

B · リゾルバーにドメインの偽の IP アドレスを保存させること

19.IPv4 サブネット化

答え: p = 21

IPv4 サブネット化：アドレスは 32 ビットです。プレフィックス /p は先頭の何ビットがネットワークを表すかを示し、残りの 32 − p ビットでホストを番号付けします。サブネットには 2³²⁻ᵖ 個のアドレスがありますが、最初（ネットワークアドレス）と最後（ブロードキャストアドレス）はホストに割り当てられないため、2³²⁻ᵖ − 2 台のホストが収まります。例外：/31（ポイントツーポイントリンク、RFC 3021）は 2 つのアドレスを両方ともホストに使い、/32 は単一のアドレス（単一ホストまたはループバック）です。

必要なホストビット数

2¹⁰ − 2 = 1022 < 1418

2¹¹ − 2 = 2046 ≥ 1418 → h = 11

プレフィックス長

p = 32 − 11 = 21

答え

p = /21

20.IPv4 サブネット化

答え: x = 224

VLSM：各 LAN には 2ʰ − 2 ≥ ホスト数となる最小のサブネット、つまりプレフィックス 32 − h を割り当てます。大きいサブネットから割り当てると、各ブロックは自身のサイズの倍数にそろうので、ネットワークアドレスはブロックサイズを足し合わせて求まります。

LAN ごとのブロックサイズ

A: 103 ホスト → 2⁷ = 128 (/25)

B: 49 ホスト → 2⁶ = 64 (/26)

D: 23 ホスト → 2⁵ = 32 (/27)

C: 7 ホスト → 2⁴ = 16 (/28)

割り当て（大きい順）

A: .0 – .127

B: .128 – .191

D: .192 – .223

C: .224 – .239

答え

x = 224

LAN C：192.168.185.224/28。

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals