記数法
- 位取り
- 2 進数 2k、8 進数 8k、16 進数 16k
- 10 進数へ
- Σ dk·bk
- 10 進数から
- 基数で割り、余りを下から上へ読む
- 16 進数 ↔ 2 進数
- 16 進数 1 桁 = 4 ビット
- 2 の補数
- ビットを反転して 1 を足す
コンピュータサイエンス基礎：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
命題論理と証明
- 真理値表の行
- 2ⁿ
- 含意
- p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
- 含意の否定
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
- 同値（双条件）
- p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
- ド・モルガンの法則
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- 分配法則
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- 量化子の否定
- ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
- 肯定式（modus ponens）、否定式（modus tollens）
- p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p
解き方
- 異なる変数の数を数えます：真理値表の行数は 2ⁿ で、最初の行はすべて 1 です。
- 部分式ごとに列を用意し、内側から順に列を埋めていきます。
- 各結合子の規則を適用します：→ が 0 になるのは 1 → 0 のときだけ、↔ は両辺が一致するとき 1 です。
- 同値の判定では最後の列を行ごとに比べます。論証の判定では、すべての前提が 1 である行だけを見ます。
- 量化された文を否定するには、¬ を内側へ移し、∀ と ∃ を入れ替え、内側の式を否定します。
デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ
- 基本ゲート
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- ブールの規則
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- ド・モルガンの法則
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- カルノー図の並び順
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 2ᵏ 個のセルのグループ
- k 個の変数が消える
- 4 対 1 マルチプレクサ
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- フリップフロップ
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- カウンタ
- n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； fout = fclk/N
- リップルカウンタ
- fmax = 1/(n·tpd)
- リングカウンタとジョンソンカウンタ
- n 状態と 2n 状態
解き方
- 回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
- 簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
- 1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
- フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。
整数論と合同式
- 余りのある割り算
- a = q·n + r, 0 ≤ r < n
- ユークリッド
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
- 最小公倍数
- lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
- 逆行列
- a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
- 一次合同式
- a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
- オイラーのトーシェント関数
- φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
- フェルマー
- aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
- RSA
- n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
解き方
- まずすべての数を n で割った余りに直します。余りは 0 から n − 1 の間です。
- 最大公約数は、ユークリッドの互除法で割り算を繰り返して求めます。最後の 0 でない余りが最大公約数です。
- 逆元は拡張ユークリッドの互除法で求め、a の係数を取ります。負なら n を足します。
- a·x ≡ b は a⁻¹ を掛けて解きます。2 つの合同式は x = r₁ + m₁k とおいて組み合わせます。
- べき乗では、指数を 2 進数で書いて平方を繰り返します。RSA では d = e⁻¹ mod φ(n)、φ(n) = (p − 1)(q − 1) です。
グラフ理論
- 握手補題
- Σ deg(v) = 2|E|
- 完全グラフ
- |E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
- 正則グラフ
- |E| = n·k/2
- 木と森
- |E| = n − 1, |E| = n − c
- 木の葉
- L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
- オイラー
- 閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
- Kn のハミルトン閉路
- (n − 1)!/2
- ダイクストラ法の更新
- d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
- 長さ L の歩道
- (Mᴸ)ij
解き方
- 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
- オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
- 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
- ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
- 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。
IPv4 サブネット化
- サブネットあたりのホスト数
- 2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
- ブロックサイズ
- 256 − (mask octet)
- ネットワークアドレス
- IP AND マスク
- ブロードキャストアドレス
- IP OR (NOT マスク)：ホスト部のビットをすべて 1 にする
- n ビット借りたときのサブネット数
- 2n
2演習問題
1.記数法ふつう
8 ビットの 2 の補数で −61 を格納するようにビットを設定します。符号なしの数として読むと、このパターンの値 U はいくつですか？
N = −618 bit
U =
2.記数法むずかしい
ビットを 1101 1110 OR 0101 1010 の 8 ビットの結果に設定します。結果の値 R は 10 進でいくつですか？
1101 1110OR0101 1010
R =
3.命題論理と証明ふつう
¬(r → q) と論理的に同値な論理式はどれですか？ クリックしてください。
¬(r → q)
- 1¬r → ¬q
- 2¬r ∧ q
- 3r ∧ ¬q
- 4¬r ∨ ¬q
4.命題論理と証明むずかしい
真理値表の 16 行のうち、¬(¬r ↔ (q ∧ r)) ∧ (s ∨ (q ↔ p)) が真になるのは何行ですか？ この数を N とします。
¬(¬r ↔ (q ∧ r)) ∧ (s ∨ (q ↔ p))
N =
5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう
カルノー図を使って F(A, B, C) = Σm(1, 3, 6) の最小の積和形（SOP）を求めてください。積項 N はいくつありますか？
F(A, B, C) = Σm(1, 3, 6)
N =
6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい
d はドントケア条件を表します。F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 4, 7, 9, 10) + d(3, 5, 11) の最小の SOP 形を求めてください。積項 N はいくつありますか？
F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 4, 7, 9, 10) + d(3, 5, 11)
N =
7.整数論と合同式ふつう
オイラーのトーシェント関数 φ(209)、つまり 1 から 209 までの整数のうち 209 と互いに素なものの個数を求めてください。
n = 209 = 11·19
φ(209) =
8.整数論と合同式むずかしい
24x ≡ 12 (mod 26) は、{0, 1, …, 25} の中にいくつ解 N をもちますか？
24x ≡ 12 (mod 26)
N =
9.アルゴリズムと計算量ふつう
ソート済み配列で、両端から 1 つずつポインタを内側へ動かして、和が目標値になる 2 つの要素を探します。時間計算量は何ですか？
- AO(log n)
- BO(n²)
- CO(n log n)
- DO(n)
10.アルゴリズムと計算量むずかしい
漸化式 T(n) = 2T(n/2) + n log n の解は何ですか？
- AΘ(n log² n)
- BΘ(n)
- CΘ(n log n)
- DΘ(n²)
11.データ構造ふつう
無向グラフの隣接行列について正しいのはどれですか。
- A常に上三角行列である
- B主対角線に関して対称である
- C各行にちょうど 1 つの 1 がある
- D主対角線には常に 1 が入っている
12.データ構造むずかしい
二分ヒープにおける decrease-key（要素の位置が分かっている場合）の時間計算量はどれですか。
- AO(log n)
- BO(n log n)
- CO(1)
- DO(n)
13.グラフ理論ふつう
連結グラフに 13 個の頂点と 16 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？
|V| = 13|E| = 16
k =
14.グラフ理論むずかしい
D から A への長さ 3 の歩道はいくつありますか？ 歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。
M = 隣接行列L = 3
N =
15.データベースと SQLふつう
関係代数で、選択演算子（σ）はどの SQL の句に対応しますか？
- AGROUP BY
- BWHERE
- CSELECT リスト
- DORDER BY
16.データベースと SQLむずかしい
ダーティリードは防ぐが、ノンリピータブルリードは依然として許す分離レベルはどれですか？
- ARead uncommitted
- BRead committed
- CSerializable
- DRepeatable read
17.コンピュータネットワークふつう
ルーティングループの中でパケットが永遠に回り続けるのを防ぐ IPv4 ヘッダーのフィールドはどれですか？
- Aヘッダーチェックサム
- BTTL（Time to live）
- Cサービスタイプ（Type of service）
- D識別子（Identification）
18.コンピュータネットワークむずかしい
冗長なスイッチ間リンクを持つネットワークで、ブロードキャストのループを防ぐ仕組みはどれですか？
- ANAT
- BDHCP スヌーピング
- CARP キャッシュ
- Dスパニングツリープロトコル（Spanning Tree Protocol）
19.IPv4 サブネット化ふつう
ある部署では、1 つのサブネット内に 1853 個のホストアドレスが必要です。十分な大きさとなる最長のプレフィックス長 p（最小のサブネット）はいくつですか？
1853 hosts
p =
20.IPv4 サブネット化むずかしい
あるルータは次のネットワークへの経路をもっています：10.187.118.0/24, 10.187.119.0/24, 10.187.120.0/24, 10.187.121.0/24, 10.187.122.0/24, 10.187.123.0/24。それらすべてをカバーする 1 つの集約経路の最長のプレフィックス長 p はいくつですか？
10.187.118.0/24 … 10.187.123.0/24
p =
3溶液
1.記数法
答え: U = 195
ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。
反転して 1 を足す
61 = 0011 1101
反転後: 1100 0010
+1 → 1100 0011
符号なしとして読む
1100 0011₂ = 256 − 61 = 195
答え
U = 195
2.記数法
答え: R = 222
ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。
ビットごとに
OR は、少なくとも一方のビットが 1 のところで 1 になります。
1101 1110
OR 0101 1010
= 1101 1110
結果の値
1101 1110₂ = 222
答え
R = 222
3.命題論理と証明
答え: r ∧ ¬q
論理的同値：2 つの論理式は、真理値表のすべての行で同じ値をとるとき同値（≡）です。恒真式（トートロジー）はすべての行で 1、矛盾（恒偽式）はすべての行で 0、どちらでもないものは充足可能な非恒真式です。役に立つ法則：ド・モルガンの法則 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b と ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b、a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（対偶）、¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b、そして分配法則 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。
法則
¬(a → b) ≡ ¬(¬a ∨ b) ≡ a ∧ ¬b：含意が成り立たなくなる唯一の行です。
¬(r → q) ≡ r ∧ ¬q
真理値表で確かめる
q = 1, r = 1: 0 | 1 0 0 0
q = 1, r = 0: 0 | 0 1 0 1
q = 0, r = 1: 1 | 1 0 1 1
q = 0, r = 0: 0 | 1 0 0 1
答え
r ∧ ¬q
縦線の後ろの列は、表示されている順の選択肢です。
4.命題論理と証明
答え: N = 9
真理値表：n 個の異なる変数をもつ論理式には、真理値のすべての組み合わせに対応する 2ⁿ 行があります（1 = 真、0 = 偽）。内側から順に進め、部分式ごとに列を用意します。¬a は値を反転させ、a ∧ b は両方が 1 のときだけ 1、a ∨ b は両方が 0 のときだけ 0、a → b は a = 1 かつ b = 0 のときだけ 0、a ↔ b は両辺が等しいとき 1 です。
列
¬r; q ∧ r; ¬r ↔ (q ∧ r); ¬(¬r ↔ (q ∧ r)); q ↔ p; s ∨ (q ↔ p); ¬(¬r ↔ (q ∧ r)) ∧ (s ∨ (q ↔ p))
p で分ける
p = 1: 5
p = 0: 4
N = 5 + 4 = 9
答え
N = 9
5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ
答え: N = 2
カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。
1 をグループ化する
各グループは 2ᵏ 個のセルからなる長方形です。端のセルは、反対側の端のセルと隣り合っています。
A′C
ABC′
最小の SOP 形
F = A′C + ABC′
N = 2
答え
N = 2
6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ
答え: N = 4
カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。
主項
1 と X からつくれる最大のグループ。
B′D, B′C, A′D, A′BC′
最小被覆
F = B′D + B′C + A′D + A′BC′
N = 4
答え
N = 4
7.整数論と合同式
答え: φ(209) = 180
逆元と合同式：a が n を法として逆元をもつのは、gcd(a, n) = 1 のときに限ります。拡張ユークリッドの互除法で 1 = s·n + t·a と書くと、a⁻¹ ≡ t (mod n) です。gcd(a, n) = 1 のとき、合同式 a·x ≡ b (mod n) の解は x ≡ a⁻¹·b です。法が互いに素な 2 つの合同式 x ≡ r₁ (mod m₁) と x ≡ r₂ (mod m₂) には、m₁·m₂ を法として 1 つの解があります（中国の剰余定理）。オイラーの φ(n) は、1 から n までの数のうち n と互いに素なものの個数です：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。
素因数
209 = 11·19
トーシェント関数
φ(209) = φ(11)·φ(19) = 10·18 = 180
答え
φ(209) = 180
8.整数論と合同式
答え: N = 2
逆元と合同式：a が n を法として逆元をもつのは、gcd(a, n) = 1 のときに限ります。拡張ユークリッドの互除法で 1 = s·n + t·a と書くと、a⁻¹ ≡ t (mod n) です。gcd(a, n) = 1 のとき、合同式 a·x ≡ b (mod n) の解は x ≡ a⁻¹·b です。法が互いに素な 2 つの合同式 x ≡ r₁ (mod m₁) と x ≡ r₂ (mod m₂) には、m₁·m₂ を法として 1 つの解があります（中国の剰余定理）。オイラーの φ(n) は、1 から n までの数のうち n と互いに素なものの個数です：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。
gcd で割る
gcd(24, 26) = 2
12x ≡ 6 (mod 13)
簡約した合同式を解く
12−1 ≡ 12 (mod 13) → x ≡ 7 (mod 13)
26 を法とする解
x ∈ {7, 20}
N = 2
答え
N = 2
9.アルゴリズムと計算量
答え: D · O(n)
これが答えになる理由
和が小さすぎれば左のポインタを右へ、大きすぎれば右のポインタを左へ動かすので、ステップは高々 n 回です。
答え
D · O(n)
10.アルゴリズムと計算量
答え: A · Θ(n log² n)
これが答えになる理由
段階 k の作業量は約 n log(n / 2ᵏ) で、log n 個の段階にわたって合計すると Θ(n log² n) となります。これはマスター定理の第 2 の場合の拡張です。
答え
A · Θ(n log² n)
11.データ構造
答え: B · 主対角線に関して対称である
これが答えになる理由
無向グラフでは辺 {u, v} は M[u][v] と M[v][u] の両方が設定されることを意味するので、行列はその転置と等しくなります。
答え
B · 主対角線に関して対称である
12.データ構造
答え: A · O(log n)
これが答えになる理由
キーを減らした後、要素は最大でヒープの高さ分だけ上へ移動します（sift up）。フィボナッチヒープでは償却 O(1) の decrease-key が実現できます。
答え
A · O(log n)
13.グラフ理論
答え: k = 4
オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。
全域木の辺
13 − 1 = 12
取り除く辺
k = 16 − 12 = 4
答え
k = 4
14.グラフ理論
答え: N = 1
次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。Kn には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。
隣接行列
A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 0 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 0 0 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0
もう 1 歩
(M³)DA = 1·0 + 0·1 + 1·1 + 3·0 + 1·0 + 1·0 = 1
答え
N = 1
15.データベースと SQL
答え: B · WHERE
これが答えになる理由
σcondition(R) は、WHERE 句のように、条件を満たす R のタプルを返します。
答え
B · WHERE
16.データベースと SQL
答え: B · Read committed
これが答えになる理由
Read committed は未コミットの変更を隠します。Repeatable read はノンリピータブルリードも防ぎ、Serializable はファントムも防ぎます。
答え
B · Read committed
17.コンピュータネットワーク
答え: B · TTL（Time to live）
これが答えになる理由
すべてのルーターが TTL を 1 減らし、0 になるとパケットは破棄され、通常は ICMP Time Exceeded メッセージが送られます。IPv6 ではホップリミットと呼ばれます。
答え
B · TTL（Time to live）
18.コンピュータネットワーク
答え: D · スパニングツリープロトコル（Spanning Tree Protocol）
これが答えになる理由
STP はルートブリッジを選出して冗長な経路をブロックし、アクティブなリンクに障害が発生するとブロックを解除します。
答え
D · スパニングツリープロトコル（Spanning Tree Protocol）
19.IPv4 サブネット化
答え: p = 21
IPv4 サブネット化：アドレスは 32 ビットです。プレフィックス /p は先頭の何ビットがネットワークを表すかを示し、残りの 32 − p ビットでホストを番号付けします。サブネットには 2³²⁻ᵖ 個のアドレスがありますが、最初（ネットワークアドレス）と最後（ブロードキャストアドレス）はホストに割り当てられないため、2³²⁻ᵖ − 2 台のホストが収まります。 例外：/31（ポイントツーポイントリンク、RFC 3021）は 2 つのアドレスを両方ともホストに使い、/32 は単一のアドレス（単一ホストまたはループバック）です。
必要なホストビット数
210 − 2 = 1022 < 1853
211 − 2 = 2046 ≥ 1853 → h = 11
プレフィックス長
p = 32 − 11 = 21
答え
p = /21
20.IPv4 サブネット化
答え: p = 20
経路集約：集約経路 a.b.c.0/p は、最初の p ビットが一致するすべてのネットワークをカバーします。最初と最後のネットワークの異なるオクテットを 2 進数で書きます。共通する先頭のビット数に、それより前のオクテットのビット数を加えたものが最長の集約プレフィックスです。
ビットを比べる
118 = 01110110
123 = 01111011
共通する先頭のビット：4
プレフィックス長
p = 16 + 4 = 20
答え
p = /20
集約経路：10.187.112.0/20 （リストにない 10 個のネットワークもカバーします）。
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