コンピュータサイエンス基礎：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

記数法

位取り: 2 進数 2^k、8 進数 8^k、16 進数 16^k
10 進数へ: Σ d_k·b^k
10 進数から: 基数で割り、余りを下から上へ読む
16 進数 ↔ 2 進数: 16 進数 1 桁 = 4 ビット
2 の補数: ビットを反転して 1 を足す

命題論理と証明

真理値表の行: 2ⁿ
含意: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
含意の否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
同値（双条件）: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
ド・モルガンの法則: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配法則: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量化子の否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定式（modus ponens）、否定式（modus tollens）: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

解き方

異なる変数の数を数えます：真理値表の行数は 2ⁿ で、最初の行はすべて 1 です。
部分式ごとに列を用意し、内側から順に列を埋めていきます。
各結合子の規則を適用します：→ が 0 になるのは 1 → 0 のときだけ、↔ は両辺が一致するとき 1 です。
同値の判定では最後の列を行ごとに比べます。論証の判定では、すべての前提が 1 である行だけを見ます。
量化された文を否定するには、¬ を内側へ移し、∀ と ∃ を入れ替え、内側の式を否定します。

デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

基本ゲート: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
ブールの規則: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
ド・モルガンの法則: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
カルノー図の並び順: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ 個のセルのグループ: k 個の変数が消える
4 対 1 マルチプレクサ: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
フリップフロップ: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
カウンタ: n ビット：2ⁿ 状態； mod-N：2ⁿ ≥ N を満たす最小の n； f_out = f_clk/N
リップルカウンタ: f_max = 1/(n·t_pd)
リングカウンタとジョンソンカウンタ: n 状態と 2n 状態

解き方

回路では、入力から出力へ向かってゲートを 1 つずつ進み、各配線に値を書き込むか、式を書いて真理値表を埋めましょう。
簡単化するには、1（とドントケアは X として）を、行と列がグレイコード 00, 01, 11, 10 のカルノー図に書き込みましょう。
1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる、できるだけ少なくできるだけ大きなグループで、端をまたぎながら覆いましょう。各グループは、一定のままの変数からなる 1 つの積項です。POS 形には 0 をグループ化します。
フリップフロップとカウンタでは、各有効クロックエッジで入力を読み取り、エッジごとの状態を書き出し、n ビットのカウンタは 2ⁿ 個の状態で折り返すことを忘れないようにしましょう。

整数論と合同式

余りのある割り算: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ユークリッド: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆行列: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
一次合同式: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
オイラーのトーシェント関数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
フェルマー: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

解き方

まずすべての数を n で割った余りに直します。余りは 0 から n − 1 の間です。
最大公約数は、ユークリッドの互除法で割り算を繰り返して求めます。最後の 0 でない余りが最大公約数です。
逆元は拡張ユークリッドの互除法で求め、a の係数を取ります。負なら n を足します。
a·x ≡ b は a⁻¹ を掛けて解きます。2 つの合同式は x = r₁ + m₁k とおいて組み合わせます。
べき乗では、指数を 2 進数で書いて平方を繰り返します。RSA では d = e⁻¹ mod φ(n)、φ(n) = (p − 1)(q − 1) です。

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

IPv4 サブネット化

サブネットあたりのホスト数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
ブロックサイズ: 256 − (mask octet)
ネットワークアドレス: IP AND マスク
ブロードキャストアドレス: IP OR (NOT マスク)：ホスト部のビットをすべて 1 にする
n ビット借りたときのサブネット数: 2ⁿ

2演習問題

1.記数法ふつう

8 ビットの 2 の補数で −66 を格納するようにビットを設定します。符号なしの数として読むと、このパターンの値 U はいくつですか？

N = −668 bit

U =

2.記数法むずかしい

ビットを 1010 0001 XOR 1111 0100 の 8 ビットの結果に設定します。結果の値 R は 10 進でいくつですか？

1010 0001XOR1111 0100

R =

3.命題論理と証明ふつう

r ∨ (p ∧ q) と論理的に同値な論理式はどれですか？クリックしてください。

r ∨ (p ∧ q)

1(r ∧ p) ∨ (r ∧ q)
2(r ∨ p) ∧ (r ∨ q)
3(r ∨ p) ∧ q
4r ∧ (p ∨ q)

4.命題論理と証明むずかしい

否定を最も内側まで移したとき、¬∀x (P(x) → Q(x)) と同値な主張はどれですか？クリックしてください。

¬∀x (P(x) → Q(x))

1∃x (P(x) ∧ ¬Q(x))
2∀x (P(x) → ¬Q(x))
3∀x (P(x) ∧ ¬Q(x))
4∃x (P(x) → ¬Q(x))

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップふつう

カルノー図を使って F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 4, 5, 6, 12, 14) の最小の積和形（SOP）を求めてください。積項 N はいくつありますか？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 4, 5, 6, 12, 14)

N =

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップむずかしい

正エッジトリガの D フリップフロップが Q = 0 から始まり、7 回の立ち上がりクロックエッジで図の入力を受け取ります。Q は何回N状態を変えますか？

Q₀ = 0D

N =

7.整数論と合同式ふつう

13x ≡ 43 (mod 71) を解いてください。0 < x < 71 を満たす解 x を答えてください。

13x ≡ 43 (mod 71)

x =

8.整数論と合同式むずかしい

34x ≡ 6 (mod 44) は、{0, 1, …, 43} の中にいくつ解 N をもちますか？

34x ≡ 6 (mod 44)

N =

9.アルゴリズムと計算量ふつう

貪欲法（greedy algorithm）の説明として正しいものはどれですか？

A可能なすべての解を試す
B常に最適解を与える
C再帰のみを使用する
D各ステップで局所的に最良の選択をする

10.アルゴリズムと計算量むずかしい

V 個の頂点と E 本の辺をもつグラフで、二分ヒープを用いたダイクストラ法の実行時間は何ですか？

AO(V³)
BO(V × E)
CO(V + E)
DO((V + E) log V)

11.データ構造ふつう

「{[()]}」の括弧の対応がとれているかを調べるのに使われるデータ構造はどれですか。

Aキュー
Bスタック
Cハッシュテーブル
D二分探索木

12.データ構造むずかしい

O(1) の追加メモリで、単方向連結リストが閉路を含むかどうかを検出するにはどうすればよいですか。

A一方のポインタを 1 歩ずつ、もう一方を 2 歩ずつ進め、出会うかどうかを調べる
B訪問したすべてのノードをハッシュ集合に格納する
C数がリストの長さのフィールドを超えるまでノードを数える
Dリストをソートして重複を探す

13.グラフ理論ふつう

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？答えをクリックしてください。

|V| = 7|E| = 10

1オイラー閉路
2オイラー路あり、閉路なし
3どちらでもない

14.グラフ理論むずかしい

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 6|E| = 8

W =

15.データベースと SQLふつう

ROLLBACK TO SAVEPOINT s1 は何をしますか？

Aトランザクションを終了し、すべてをコミットする
Bトランザクション全体を最初から取り消す
Cセーブポイント s1 より後に行った変更を取り消し、トランザクションは開いたままにする
Dセーブポイントとそれ以降に変更されたすべてのテーブルを削除する

16.データベースと SQLむずかしい

テーブルに 100 万行あり、ブール型の列 is_active はそのうち 95% で TRUE です。WHERE is_active = TRUE について、オプティマイザが is_active のインデックスを無視することがあるのはなぜですか？

Aブール型の列にはインデックスを作れないから
Bほとんどの行が一致するので、多数のインデックス検索より全表スキャンのほうが安いから
Cインデックスでは TRUE が NULL として扱われるから
Dオプティマイザは WHERE 句でインデックスを決して使わないから

17.コンピュータネットワークふつう

偶数パリティを使うとき、データビット 1011001 に付け加えるパリティビットはどれですか？

18.コンピュータネットワークむずかしい

TCP 輻輳制御の「スロースタート」（slow start）フェーズについて正しいものはどれですか？

Aパケット損失が検出されるまで、ラウンドトリップごとに輻輳ウィンドウを半分にする
Bウィンドウを 1 セグメントに固定する
CUDP でのみ使われる
Dしきい値に達するか損失が発生するまで、輻輳ウィンドウを指数関数的に増やす

19.IPv4 サブネット化ふつう

ネットワーク 192.168.10.0/24 を、少なくとも 4 個の同じ大きさのサブネットに分けます。借りるビットをできるだけ少なくすると、各サブネットで使えるホスト数 H はいくつですか？

192.168.10.0/244 subnets

H =

20.IPv4 サブネット化むずかしい

あるホストのアドレスは 10.20.122.205/25 です。そのサブネットで最後に使えるホストアドレスの第 4 オクテット x はいくつですか？

10.20.122.205/25

x =

3溶液

1.記数法

答え: U = 190

ビットの設定：各ビットは 2 のべき乗（128、64、…、1）の値をもちます。16 進の 1 桁はちょうど 4 ビットで、8 ビットの 2 の補数では、いちばん左のビットの値は −128 です。ビット演算は、各ビット位置を別々に扱います。

反転して 1 を足す

66 = 0100 0010

反転後: 1011 1101

+1 → 1011 1110

符号なしとして読む

1011 1110₂ = 256 − 66 = 190

答え

U = 190

2.記数法

答え: R = 85

ビットごとに

XOR は、2 つのビットが異なるところで 1 になります。

1010 0001

XOR 1111 0100

= 0101 0101

結果の値

0101 0101₂ = 85

答え

R = 85

3.命題論理と証明

答え: (r ∨ p) ∧ (r ∨ q)

論理的同値：2 つの論理式は、真理値表のすべての行で同じ値をとるとき同値（≡）です。恒真式（トートロジー）はすべての行で 1、矛盾（恒偽式）はすべての行で 0、どちらでもないものは充足可能な非恒真式です。役に立つ法則：ド・モルガンの法則 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b と ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b、a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（対偶）、¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b、そして分配法則 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

法則

∨ は ∧ に対して分配します：a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

r ∨ (p ∧ q) ≡ (r ∨ p) ∧ (r ∨ q)

真理値表で確かめる

p = 1, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 1, r = 0: 1 | 0 1 1 0

p = 1, q = 0, r = 1: 1 | 1 1 0 1

p = 1, q = 0, r = 0: 0 | 0 0 0 0

p = 0, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 0, q = 1, r = 0: 0 | 0 0 0 0

p = 0, q = 0, r = 1: 1 | 0 1 0 0

p = 0, q = 0, r = 0: 0 | 0 0 0 0

答え

(r ∨ p) ∧ (r ∨ q)

縦線の後ろの列は、表示されている順の選択肢です。

4.命題論理と証明

答え: ∃x (P(x) ∧ ¬Q(x))

量化子と論証：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)、¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。否定を内側へ移し、通過する量化子をすべて入れ替え、内側の式は ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b のような命題論理の法則で否定します。論証は、すべての前提が 1 であるどの行でも結論が 1 のとき、妥当です。前提が真で結論が偽になる行が 1 つでもあれば、それは反例であり、その論証が妥当でないことを示します。

否定を内側へ移す

¬∀x (P(x) → Q(x)) ≡ ∃x (P(x) ∧ ¬Q(x))

答え

∃x (P(x) ∧ ¬Q(x))

ほかの選択肢は、量化子がそのままになっているか、量化子の順序が変わっているか、内側の式の否定が間違っているかのどれかです。

5.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 3

カルノー図：セルはグレイコード（00, 01, 11, 10）の順に並んでいるので、端をまたぐものも含め、隣り合うセルはちょうど 1 つの変数だけが異なります。1 を、1, 2, 4, 8, 16 個のセルからなる長方形で、できるだけ大きく、できるだけ少ない数でグループ化し、すべての 1 を覆います。各グループは 1 つの積項で、グループの中で一定のままの変数からなります。2ᵏ 個のセルのグループでは k 個の変数が消えます。ドントケア（X）はグループを大きくするために使えますが、覆う必要はありません。代わりに 0 をグループ化すると、最小の POS 形が得られます。

1 をグループ化する

各グループは 2ᵏ 個のセルからなる長方形です。端のセルは、反対側の端のセルと隣り合っています。

BD′

A′D′

A′C′

最小の SOP 形

F = BD′ + A′D′ + A′C′

N = 3

答え

N = 3

6.デジタル論理：ゲート・カルノー図・フリップフロップ

答え: N = 4

フリップフロップとカウンタ：フリップフロップは、有効なクロックエッジでだけ変化します。D は入力をコピーし（Q⁺ = D）、T は T = 1 のときトグルし、JK は 00 で保持、01 でリセット、10 でセット、11 でトグルします。n ビットの 2 進カウンタには 2ⁿ 個の状態があり、2ⁿ を法として数えます。mod-N カウンタは 0, 1, …, N − 1 と数えて 0 に戻り、2ⁿ ≥ N を満たす最小の n 個のフリップフロップが必要です。リップルカウンタの各段は周波数を半分にするので、mod-N カウンタの最後の出力は f_clk/N で動作します。n 個のフリップフロップのジョンソンカウンタには 2n 個の状態があり、リングカウンタには n 個あります。

エッジごとの Q

D フリップフロップは、立ち上がりエッジごとに D をコピーします：Q⁺ = D。

1: D = 1 → Q = 1

2: D = 0 → Q = 0

3: D = 0 → Q = 0

4: D = 0 → Q = 0

5: D = 1 → Q = 1

6: D = 0 → Q = 0

7: D = 0 → Q = 0

変化を数える

0 → 1 → 0 → 0 → 0 → 1 → 0 → 0

N = 4

答え

N = 4

7.整数論と合同式

答え: x = 47

逆元と合同式：a が n を法として逆元をもつのは、gcd(a, n) = 1 のときに限ります。拡張ユークリッドの互除法で 1 = s·n + t·a と書くと、a⁻¹ ≡ t (mod n) です。gcd(a, n) = 1 のとき、合同式 a·x ≡ b (mod n) の解は x ≡ a⁻¹·b です。法が互いに素な 2 つの合同式 x ≡ r₁ (mod m₁) と x ≡ r₂ (mod m₂) には、m₁·m₂ を法として 1 つの解があります（中国の剰余定理）。オイラーの φ(n) は、1 から n までの数のうち n と互いに素なものの個数です：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

13 の逆元

r = 71, t = 0

r = 13, q = 5, t = 1

r = 6, q = 2, t = −5

r = 1, q = 6, t = 11

13⁻¹ ≡ 11 (mod 71)

解く

x ≡ 11·43 = 473 ≡ 47 (mod 71)

確認: 13·47 = 611 ≡ 43 (mod 71)

答え

x = 47

8.整数論と合同式

答え: N = 2

gcd で割る

gcd(34, 44) = 2

17x ≡ 3 (mod 22)

簡約した合同式を解く

17⁻¹ ≡ 13 (mod 22) → x ≡ 17 (mod 22)

44 を法とする解

x ∈ {17, 39}

次数

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 4

奇数次数の頂点

A, C, E, F → 4

どちらでもない

答え

どちらでもない

14.グラフ理論

答え: W = 47

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

EF (1): 取る

AB (7): 取る

DF (11): 取る

BE (12): 取る

D · しきい値に達するか損失が発生するまで、輻輳ウィンドウを指数関数的に増やす

19.IPv4 サブネット化

答え: H = 62

IPv4 サブネット化：アドレスは 32 ビットです。プレフィックス /p は先頭の何ビットがネットワークを表すかを示し、残りの 32 − p ビットでホストを番号付けします。サブネットには 2³²⁻ᵖ 個のアドレスがありますが、最初（ネットワークアドレス）と最後（ブロードキャストアドレス）はホストに割り当てられないため、2³²⁻ᵖ − 2 台のホストが収まります。例外：/31（ポイントツーポイントリンク、RFC 3021）は 2 つのアドレスを両方ともホストに使い、/32 は単一のアドレス（単一ホストまたはループバック）です。

借りるビット数

2² = 4 ≥ 4 → b = 2, /26

サブネットあたりのホスト数

2⁶ − 2 = 62

答え

H = 62

20.IPv4 サブネット化

答え: x = 254

ブロックサイズ

2⁷ = 128

このホストのサブネット

ネットワーク: ⌊205/128⌋·128 = 128

ブロードキャスト: 128 + 128 − 1 = 255

使えるホスト: 129 … 254

答え

x = 254

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