コーポレートファイナンス：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

損益分岐点分析

貢献利益: CM = p − v
損益分岐点販売量: Q_BE = FC/(p − v)
目標利益: Q = (FC + profit)/(p − v)
利益: π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率: (Q − Q_BE)/Q

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

名目年利 2%、四半期複利で €3 000 を投資します。6 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €3 0002% / 4n = 6

FV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€150 000 の住宅ローンを、年 5.4%、月複利で 30 年間の元利均等の月払いで返済します。12 年目の末の支払い直後に、まだいくら残っていますか？残高 B を求めなさい。

P = €150 0005.4% / 12N = 360k = 144

B = €

3.NPV と IRRふつう

€60 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€15 000, €21 000, €19 000。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 12%CF₀ = −60 000CF₁ = 15 000CF₂ = 21 000CF₃ = 19 000

NPV = €

4.NPV と IRRむずかしい

€20 000 の投資が 8 年間、毎年末に €3 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

C₀ = €20 000CF = €3 000n = 8

IRR = %

5.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 7% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、10 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 4% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 7%YTM = 4%n = 10

P = €

6.債券の価格と利回りむずかしい

ある債券が €1 000 で取引され、最終利回りは 4%（年複利）、マコーレー・デュレーションは 11.5 年です。利回りが 150 ベーシスポイント上昇した場合の新しい価格 P を、修正デュレーションを使って推定しなさい。

P₀ = €1 000y = 4%D = 11.5Δy = +150 bp

P = €

7.CAPM と WACCふつう

ベータ 1.5 の株式の要求収益率は 13.75% です。無リスク金利は 4% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 r_m はいくらですか？

β = 1.5r_e = 13.75%r_f = 4%

r_m = %

8.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 0.8 です。負債資本比率を 0.5 にする計画です。税率は 20%、無リスク金利は 3.5%、市場リスクプレミアムは 4.5% です。新しい資本構成での株主資本コスト r_e を求めなさい。

β_U = 0.8D/E = 0.5T = 20%r_f = 3.5%r_m − r_f = 4.5%

r_e = %

9.損益分岐点分析ふつう

ある製品は 1 個 €20 で売られ、変動費は 1 個あたり €15 です。固定費は月 €25 000 です。月 €20 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？

F = €25 000p = €20v = €15利益 = €20 000

Q = 個

10.損益分岐点分析むずかしい

ある会社は月に 5 000 個を各 €42 で販売しており、1 個あたりの変動費は €30、固定費は月 €24 000 です。1 個あたりの変動費が €2 上がり、価格は変わりません。同じ利益を保つには、今後月に何個 Q 売る必要がありますか？

Q = 5 000p = €42v = €30 → €32F = €24 000

Q = 個

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: FV = 3381 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.02/4 = 0.005

N = m·n = 4·6 = 24

将来価値

FV = 3 000·(1 + 0.005)²⁴ = 3 000·1.127 = €3 381.48

答え

FV = €3 381.48

2.貨幣の時間価値

答え: B = 116209 €

毎月の返済額

i = 0.0045, N = 360

A = 150 000·0.0045/(1 − (1 + 0.0045)⁻³⁶⁰) = €842.30

残りの支払いの現在価値

まだ残っている借入は、残りの支払いでちょうど完済されなければなりません。

N − k = 360 − 144 = 216

B = 842.3·(1 − (1 + 0.0045)⁻²¹⁶)/0.0045 = €116 208.53

答え

B = €116 208.53

3.NPV と IRR

答え: NPV = −16342 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 15 000/1.12 = 13 392.86

CF₂/(1 + 0.12)² = 21 000/1.254 = 16 741.07

CF₃/(1 + 0.12)³ = 19 000/1.405 = 13 523.82

合計する

NPV = €−16 342.25

答え

NPV = €−16 342.25

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

4.NPV と IRR

答え: IRR = 4.239 %

必要な年金現価係数

(1 − (1 + i)⁻⁸)/i = 20 000/3 000 = 6.667

利率について解く

利率が上がると年金現価係数は下がります。利率を挟み込んで絞り込みましょう。

i = 4%: 6.733

i = 5%: 6.463

IRR = 4.239%

答え

IRR = 4.239%

5.債券の価格と利回り

答え: P = 1245 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €35.00, i = 0.02, N = 20

クーポンの現在価値

€35.00·(1 − 0.673)/0.02 = €572.30

額面の現在価値

€1 000·0.673 = €672.97

価格

P = €1 245.27

答え

P = €1 245.27

利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。

6.債券の価格と利回り

答え: P = 834.1 €

デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正デュレーション

D_mod = 11.5/1.04 = 11.06

推定価格変化

%ΔP ≈ −11.06·(0.015) = −16.59%

P ≈ 1000·(1 − 0.1659) = €834.13

答え

P = €834.13

デュレーションは線形の推定です。利回りの変化が大きいと、コンベクシティにより実際の価格は少し高くなります。

7.CAPM と WACC

答え: r_m = 10.5 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

市場リスクプレミアム

r_m − r_f = (13.75% − 4%)/1.5 = 6.5%

市場収益率

r_m = 4% + 6.5% = 10.5%

答え

r_m = 10.5%

8.CAPM と WACC

答え: r_e = 8.54 %

レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E) で、β_U は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。

レバードベータ

β_L = 0.8·(1 + 0.8·0.5) = 1.12

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 3.5% + 1.12·4.5% = 8.54%

答え

r_e = 8.54%

9.損益分岐点分析

答え: Q = 9000 個

CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。

1 個あたりの貢献利益

p − v = 20 − 15 = €5

目標利益のための販売量

Q = (F + 利益)/(p − v) = (25 000 + 20 000)/5 = 9 000

答え

Q = 9 000 個

10.損益分岐点分析

答え: Q = 6000 個

現在の利益

Π = 5 000·(42 − 30) − 24 000 = €36 000

1 個あたりの新しい貢献利益

42 − 32 = €10

同じ利益に必要な個数

Q = (24 000 + 36 000)/10 = 6 000

答え

Q = 6 000 個

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