1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 5%、月複利で €12 000 を投資します。8 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €12 0005% / 12n = 8
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€20 000 のローンを、年 5.4%、月複利で 5 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？
P = €20 0005.4% / 12N = 60
I = €
3.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €80 000、耐用年数は 5 年、運転費は毎年 €3 000（各年末に支払い）です。資本コストは 12% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。
C0 = €80 000M = €3 000n = 5r = 12%
EAC = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €22 500, €21 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −40 000CF1 = 22 500CF2 = 21 500
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が 15 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 5% のとき €896 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。
F = €1 000n = 15P = €896YTM = 5%
c = %
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 6% の債券が 3 年後に満期を迎え、€975 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 6%n = 3P = €975
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €5 000 000 の株主資本と時価 €2 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 13%、税引前負債コストは 3.5%、税率は 30% です。WACC を求めなさい。
E = €5 000 000D = €2 000 000re = 13%rd = 3.5%T = 30%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €21.50 の株式 2 000 000 株と、1 口 €980 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 3%、税率は 25% です。株式のベータは 1.3、無リスク金利は 2%、市場収益率は 6% です。WACC を求めなさい。
β = 1.3rf = 2%rm = 6%rd = 3%T = 25%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 2 つの方法でつくることができます。方法 A は固定費が年 €20 000、1 個あたりの変動費が €20 です。より自動化された方法 B は固定費が年 €23 000、1 個あたりの変動費が €14 です。年間生産量 Q がいくつのとき、両方の方法の費用が等しくなりますか？
FA = €20 000vA = €20FB = €23 000vB = €14
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €13 で売られ、変動費は 1 個あたり €8、固定費は年 €12 500 です。予算販売量は 3 250 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €12 500p = €13v = €8予算 = 3 250
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 17887 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.05/12 = 0.004167
N = m·n = 12·8 = 96
将来価値
FV = 12 000·(1 + 0.004167)96 = 12 000·1.491 = €17 887.03
2.貨幣の時間価値
答え: I = 2866 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.0045, N = 60
A = 20 000·0.0045/(1 − (1 + 0.0045)−60) = €381.10
利息の総額
I = N·A − P = 60·381.1 − 20 000 = €2 866.05
3.NPV と IRR
答え: EAC = 25193 €
等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。
年金現価係数
(1 − 1.12−5)/0.12 = 3.605
EAC
EAC = 22 192.78 + 3 000 = €25 192.78
4.NPV と IRR
答え: IRR = 6.649 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(5%) = 929.71
NPV(10%) = −1 776.86
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 5 + 5·929.71/(929.71 − (−1 776.86)) = 6.718%
正確な値: NPV(6.649%) = 0 → IRR = 6.649%
5.債券の価格と利回り
答え: c = 3.998 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
額面の現在価値
1000·(1 + 0.05)−15 = €481.02
クーポン
C = (896 − 481.02)/10.38 = €39.98
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 6.952 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€975 = €60·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
数値的に解く
P(6%) = €1 000.00, P(7%) = €973.76
YTM = 6.952%
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 9.986 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €7 000 000, E/V = 0.7143, D/V = 0.2857
WACC
WACC = 0.7143·13% + 0.2857·3.5%·(1 − 0.3) = 9.986%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 5.65 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 000 000·€21.50 = €43 000 000
D = 20 000·€980 = €19 600 000
ウェイト
V = €62 600 000, E/V = 0.6869, D/V = 0.3131
WACC
WACC = 0.6869·7.2% + 0.3131·3%·(1 − 0.25) = 5.65%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 500 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
総費用が等しい
20 000 + 20Q = 23 000 + 14Q
Q について解く
Q = (23 000 − 20 000)/(20 − 14) = 500
この量より少なければ方法 A が安く、多ければ自動化された方法 B が安くなります。
10.損益分岐点分析
答え: MS = 23.08 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 12 500/5 = 2 500
安全余裕率
MS = (3 250 − 2 500)/3 250·100 = 23.08%