コーポレートファイナンス：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

損益分岐点分析

貢献利益: CM = p − v
損益分岐点販売量: Q_BE = FC/(p − v)
目標利益: Q = (FC + profit)/(p − v)
利益: π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率: (Q − Q_BE)/Q

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

7 年後に €20 000 が必要です。口座の利率は年 4.8%、月複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €20 0004.8% / 12n = 7

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€200 000 の住宅ローンを、年 3%、月複利で 25 年間の元利均等の月払いで返済します。19 年目の末の支払い直後に、まだいくら残っていますか？残高 B を求めなさい。

P = €200 0003% / 12N = 300k = 228

B = €

3.NPV と IRRふつう

ある機械の費用は今日 €60 000 です。4 年間、毎年末に €17 500 を生み、その後 €12 000 で売却できます。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €60 000CF = €17 500S = €12 000n = 4r = 12%

NPV = €

4.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €13 500, €15 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −25 000CF₁ = 13 500CF₂ = 15 500

IRR = %

5.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 2% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、12 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 4% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 2%YTM = 4%n = 12

P = €

6.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000、年クーポン 8% の債券が 10 年後に満期を迎え、€875 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 8%n = 10P = €875

YTM = %

7.CAPM と WACCふつう

ある会社の負債資本比率（時価）は 0.5 です。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 3.5%、税率は 28% です。WACC を求めなさい。

D/E = 0.5r_e = 9%r_d = 3.5%T = 28%

WACC = %

8.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 0.9 です。負債資本比率を 0.5 にする計画です。税率は 30%、無リスク金利は 3.5%、市場リスクプレミアムは 5% です。新しい資本構成での株主資本コスト r_e を求めなさい。

β_U = 0.9D/E = 0.5T = 30%r_f = 3.5%r_m − r_f = 5%

r_e = %

9.損益分岐点分析ふつう

ある製品は 2 つの方法でつくることができます。方法 A は固定費が年 €20 000、1 個あたりの変動費が €20 です。より自動化された方法 B は固定費が年 €22 000、1 個あたりの変動費が €16 です。年間生産量 Q がいくつのとき、両方の方法の費用が等しくなりますか？

F_A = €20 000v_A = €20F_B = €22 000v_B = €16

Q = 個

10.損益分岐点分析むずかしい

ある会社は 2 つの製品を販売しています。製品 A の単価は €14、変動費は €10、製品 B の単価は €30、変動費は €20 です。両製品は A 3 個に対して B 2 個の一定の構成比で売れます。固定費は月 €9 600 です。損益分岐点に必要な総販売個数 Q（A と B の合計）を求めなさい。

p_A = €14, v_A = €10p_B = €30, v_B = €20A : B = 3 : 2F = €9 600

Q = 個

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 14302 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·7 = 84

現在価値

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1.398 = €14 302.04

答え

PV = €14 302.04

2.貨幣の時間価値

答え: B = 62422 €

毎月の返済額

i = 0.0025, N = 300

A = 200 000·0.0025/(1 − (1 + 0.0025)⁻³⁰⁰) = €948.42

残りの支払いの現在価値

まだ残っている借入は、残りの支払いでちょうど完済されなければなりません。

N − k = 300 − 228 = 72

B = 948.4·(1 − (1 + 0.0025)⁻⁷²)/0.0025 = €62 422.20

答え

B = €62 422.20

3.NPV と IRR

答え: NPV = 779.8 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

毎年のキャッシュフローの現在価値

17 500·3.037 = 53 153.61

残存価値の現在価値

12 000/1.574 = 7 626.22

NPV

NPV = −60 000 + 53 153.61 + 7 626.22 = €779.83

答え

NPV = €779.83

4.NPV と IRR

答え: IRR = 10.24 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(10%) = 82.64

NPV(15%) = −1 540.64

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 10 + 5·82.64/(82.64 − (−1 540.64)) = 10.25%

正確な値: NPV(10.24%) = 0 → IRR = 10.24%

答え

IRR = 10.24%

5.債券の価格と利回り

答え: P = 810.9 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €10.00, i = 0.02, N = 24

クーポンの現在価値

€10.00·(1 − 0.6217)/0.02 = €189.14

額面の現在価値

€1 000·0.6217 = €621.72

価格

P = €810.86

答え

P = €810.86

利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。

6.債券の価格と利回り

答え: YTM = 10.04 %

利回りの方程式

€875 = €80·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

数値的に解く

P(10%) = €877.11, P(11%) = €823.32

YTM = 10.04%

答え

YTM = 10.04%

7.CAPM と WACC

答え: WACC = 6.84 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

D/E からの重み

E/V = 1/(1 + 0.5) = 0.6667

D/V = 0.5/(1 + 0.5) = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·9% + 0.3333·3.5%·(1 − 0.28) = 6.84%

答え

WACC = 6.84%

8.CAPM と WACC

答え: r_e = 9.575 %

レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E) で、β_U は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。

レバードベータ

β_L = 0.9·(1 + 0.7·0.5) = 1.215

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 3.5% + 1.215·5% = 9.575%

答え

r_e = 9.575%

9.損益分岐点分析

答え: Q = 500 個

CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。

総費用が等しい

20 000 + 20Q = 22 000 + 16Q

Q について解く

Q = (22 000 − 20 000)/(20 − 16) = 500

答え

Q = 500 個

この量より少なければ方法 A が安く、多ければ自動化された方法 B が安くなります。

10.損益分岐点分析

答え: Q = 1500 個

販売構成比がある場合の損益分岐点：製品が一定の比率で売れるときは、加重平均貢献利益を使います：各製品の p − v を個数の割合で重み付けします。損益分岐点販売量 = F/（加重貢献利益）で、それを再び構成比で分けます。

貢献利益

cm_A = €4, cm_B = €10

加重貢献利益

(3·4 + 2·10)/5 = €6.40

損益分岐点販売量

Q = 9 600/6.4 = 1 500

A: 900, B: 600

答え

Q = 1 500 個

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