コーポレートファイナンス：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

損益分岐点分析

貢献利益: CM = p − v
損益分岐点販売量: Q_BE = FC/(p − v)
目標利益: Q = (FC + profit)/(p − v)
利益: π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率: (Q − Q_BE)/Q

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

名目年利 4%、月複利で €20 000 を投資します。8 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €20 0004% / 12n = 8

FV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

17 年間、毎月末に €250 を積み立てます。口座の利率は年 6%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。

A = €2506% / 12N = 204

FV = €

3.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €60 000 で、5 年間、毎年末に €15 500 を生みます。資本コストは 5% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。

r = 5%CF₀ = −60 000CF₁ = 15 500CF₂ = 15 500CF₃ = 15 500CF₄ = 15 500CF₅ = 15 500

DPB = 年

4.NPV と IRRむずかしい

プロジェクト A の費用は €40 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €23 000, €14 500, €9 500 を生みます。プロジェクト B の費用は €42 000 で、€11 000, €17 000, €22 500 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。

A: −40 000, 23 000, 14 500, 9 500B: −42 000, 11 000, 17 000, 22 500

r* = %

5.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 6% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、6 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 5% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 6%YTM = 5%n = 6

P = €

6.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000、年クーポン 4% の債券が 7 年後に満期を迎え、€940 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4%n = 7P = €940

YTM = %

7.CAPM と WACCふつう

ある会社の株主資本の価値は €4 000 000、負債の価値は €1 000 000 です。WACC は 11.8%、税引前負債コストは 4%、税率は 25% です。株主資本コスト r_e を求めなさい。

E = €4 000 000D = €1 000 000WACC = 11.8%r_d = 4%T = 25%

r_e = %

8.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.5 で 1 です。負債資本比率を 0.75 に引き上げる計画です。税率は 28%、無リスク金利は 2.5%、市場リスクプレミアムは 4.5% です。変更後の株主資本コスト r_e を求めなさい。

β_L = 1D/E₁ = 0.5D/E₂ = 0.75T = 28%r_f = 2.5%r_m − r_f = 4.5%

r_e = %

9.損益分岐点分析ふつう

ある製品は 1 個 €40 で売られ、変動費は 1 個あたり €30 です。固定費は月 €20 000 です。月 €20 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？

F = €20 000p = €40v = €30利益 = €20 000

Q = 個

10.損益分岐点分析むずかしい

ある製品は 1 個 €32 で売られ、変動費は 1 個あたり €12、固定費は年 €16 000 です。予算販売量は 1 440 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。

F = €16 000p = €32v = €12予算 = 1 440

MS = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: FV = 27528 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.04/12 = 0.003333

N = m·n = 12·8 = 96

将来価値

FV = 20 000·(1 + 0.003333)⁹⁶ = 20 000·1.376 = €27 527.90

答え

FV = €27 527.90

2.貨幣の時間価値

答え: FV = 88308 €

月利と積立回数

i = 0.06/12 = 0.005

N = 12·17 = 204

積立金の将来価値

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(2.766 − 1)/0.005 = €88 307.78

答え

FV = €88 307.78

自分で払い込んだのは €51 000。残りは利息です。

3.NPV と IRR

答え: DPB = 4.415 年

回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。

割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー

年度 1: 15 500/1.05 = 14 761.90 → Σ = 14 761.90

年度 2: 15 500/1.103 = 14 058.96 → Σ = 28 820.86

年度 3: 15 500/1.158 = 13 389.48 → Σ = 42 210.34

年度 4: 15 500/1.216 = 12 751.89 → Σ = 54 962.23

年度 5: 15 500/1.276 = 12 144.66 → Σ = 67 106.89

最後の年の端数

DPB = 4 + 5 037.77/12 144.66 = 4.415

答え

DPB = 4.415 年

割引回収期間は、常に単純回収期間（3.871 年）より長くなります。

4.NPV と IRR

答え: r* = 5.272 %

交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。

キャッシュフローの差

ΔCF₀ = −42 000 − (−40 000) = −2 000

ΔCF₁ = 11 000 − 23 000 = −12 000

ΔCF₂ = 17 000 − 14 500 = 2 500

ΔCF₃ = 22 500 − 9 500 = 13 000

差の IRR

NPV_Δ(5%) = 68.89

NPV_Δ(6%) = −180.71

r* = 5.272%

答え

r* = 5.272%

確認：5.272% では両方の NPV が €3 075.51 です。

5.債券の価格と利回り

答え: P = 1051 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €30.00, i = 0.025, N = 12

クーポンの現在価値

€30.00·(1 − 0.7436)/0.025 = €307.73

額面の現在価値

€1 000·0.7436 = €743.56

価格

P = €1 051.29

答え

P = €1 051.29

利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。

6.債券の価格と利回り

答え: YTM = 5.038 %

利回りの方程式

€940 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

数値的に解く

P(5%) = €942.14, P(6%) = €888.35

YTM = 5.038%

答え

YTM = 5.038%

7.CAPM と WACC

答え: r_e = 14 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €5 000 000, E/V = 0.8, D/V = 0.2

WACC の負債の部分

0.2·4%·(1 − 0.25) = 0.6%

株主資本コスト

r_e = (11.8% − 0.6%)/0.8 = 14%

答え

r_e = 14%

8.CAPM と WACC

答え: r_e = 7.596 %

レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E) で、β_U は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。

ベータをアンレバーする

β_U = 1/(1 + 0.72·0.5) = 0.7353

新しい D/E でリレバーする

β_L = 0.7353·(1 + 0.72·0.75) = 1.132

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 2.5% + 1.132·4.5% = 7.596%

答え

r_e = 7.596%

9.損益分岐点分析

答え: Q = 4000 個

CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。

1 個あたりの貢献利益

p − v = 40 − 30 = €10

目標利益のための販売量

Q = (F + 利益)/(p − v) = (20 000 + 20 000)/10 = 4 000

答え

Q = 4 000 個

10.損益分岐点分析

答え: MS = 44.44 %

損益分岐点販売量

Q = F/(p − v) = 16 000/20 = 800

安全余裕率

MS = (1 440 − 800)/1 440·100 = 44.44%

答え

MS = 44.44%

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