コーポレートファイナンス：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

損益分岐点分析

貢献利益: CM = p − v
損益分岐点販売量: Q_BE = FC/(p − v)
目標利益: Q = (FC + profit)/(p − v)
利益: π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率: (Q − Q_BE)/Q

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

名目年利 6%、月複利で €2 000 を投資します。2 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €2 0006% / 12n = 2

FV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€200 000 のローンを 25 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 3.6%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。

P = €200 0003.6% / 12N = 300

A = €

3.NPV と IRRふつう

€45 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€17 000, €22 000, €20 000, €11 000。資本コストは 5% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 5%CF₀ = −45 000CF₁ = 17 000CF₂ = 22 000CF₃ = 20 000CF₄ = 11 000

NPV = €

4.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €12 000, €12 500, €15 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −25 000CF₁ = 12 000CF₂ = 12 500CF₃ = 15 500

IRR = %

5.債券の価格と利回りふつう

最終利回りが 2.5% のときに、残存期間 11 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 7%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 1.5% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 7%n = 11y₀ = 2.5%y₁ = 1.5%

HPR = %

6.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000、年クーポン 8% の債券が 6 年後に満期を迎え、€1 100 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 8%n = 6P = €1 100

YTM = %

7.CAPM と WACCふつう

ベータ 1.2 の株式の要求収益率は 10.3% です。無リスク金利は 2.5% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 r_m はいくらですか？

β = 1.2r_e = 10.3%r_f = 2.5%

r_m = %

8.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 0.9 です。負債資本比率を 0.5 にする計画です。税率は 25%、無リスク金利は 2%、市場リスクプレミアムは 6.5% です。新しい資本構成での株主資本コスト r_e を求めなさい。

β_U = 0.9D/E = 0.5T = 25%r_f = 2%r_m − r_f = 6.5%

r_e = %

9.損益分岐点分析ふつう

ある製品の単価は €40、1 個あたりの変動費は €20 です。固定費は月 €40 000 で、利益には 20% の税金がかかります。税引後で €20 000 を稼ぐには、月に何個 Q 売る必要がありますか？

p = €40v = €20F = €40 000T = 20%税引後利益 = €20 000

Q = 個

10.損益分岐点分析むずかしい

ある会社は 2 つの製品を販売しています。製品 A の単価は €14、変動費は €10、製品 B の単価は €45、変動費は €25 です。両製品は A 4 個に対して B 1 個の一定の構成比で売れます。固定費は月 €21 600 です。損益分岐点に必要な総販売個数 Q（A と B の合計）を求めなさい。

p_A = €14, v_A = €10p_B = €45, v_B = €25A : B = 4 : 1F = €21 600

Q = 個

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: FV = 2254 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.06/12 = 0.005

N = m·n = 12·2 = 24

将来価値

FV = 2 000·(1 + 0.005)²⁴ = 2 000·1.127 = €2 254.32

答え

FV = €2 254.32

2.貨幣の時間価値

答え: A = 1012 €

月利と返済回数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·25 = 300

返済額

等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。

(1 + i)^−N = 0.4071

A = 200 000·0.003/(1 − 0.4071) = €1 012.01

答え

A = €1 012.01

3.NPV と IRR

答え: NPV = 17472 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.05)¹ = 17 000/1.05 = 16 190.48

CF₂/(1 + 0.05)² = 22 000/1.103 = 19 954.65

CF₃/(1 + 0.05)³ = 20 000/1.158 = 17 276.75

CF₄/(1 + 0.05)⁴ = 11 000/1.216 = 9 049.73

合計する

NPV = €17 471.60

答え

NPV = €17 471.60

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

4.NPV と IRR

答え: IRR = 26.38 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(25%) = 536.00

NPV(30%) = −1 317.71

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 25 + 5·536.00/(536.00 − (−1 317.71)) = 26.45%

正確な値: NPV(26.38%) = 0 → IRR = 26.38%

答え

IRR = 26.38%

5.債券の価格と利回り

答え: HPR = 10.44 %

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

購入価格

C = €70.00, i = 0.025, N = 11

€70.00·(1 − 0.7621)/0.025 + €1 000·0.7621 = €665.99 + €762.14 = €1 428.14

売却価格

C = €70.00, i = 0.015, N = 10

€70.00·(1 − 0.8617)/0.015 + €1 000·0.8617 = €645.55 + €861.67 = €1 507.22

保有期間利回り

HPR = (70 + 1 507.22 − 1 428.14)/1 428.14 = 10.44%

答え

HPR = 10.44%

6.債券の価格と利回り

答え: YTM = 5.968 %

利回りの方程式

€1 100 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

数値的に解く

P(5%) = €1 152.27, P(6%) = €1 098.35

YTM = 5.968%

答え

YTM = 5.968%

7.CAPM と WACC

答え: r_m = 9 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

市場リスクプレミアム

r_m − r_f = (10.3% − 2.5%)/1.2 = 6.5%

市場収益率

r_m = 2.5% + 6.5% = 9%

答え

r_m = 9%

8.CAPM と WACC

答え: r_e = 10.04 %

レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E) で、β_U は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。

レバードベータ

β_L = 0.9·(1 + 0.75·0.5) = 1.238

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 2% + 1.238·6.5% = 10.04%

答え

r_e = 10.04%

9.損益分岐点分析

答え: Q = 3250 個

CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。

必要な税引前利益

20 000/(1 − 0.2) = €25 000

必要な販売量

Q = (40 000 + 25 000)/20 = 3 250

答え

Q = 3 250 個

10.損益分岐点分析

答え: Q = 3000 個

販売構成比がある場合の損益分岐点：製品が一定の比率で売れるときは、加重平均貢献利益を使います：各製品の p − v を個数の割合で重み付けします。損益分岐点販売量 = F/（加重貢献利益）で、それを再び構成比で分けます。

貢献利益

cm_A = €4, cm_B = €20

加重貢献利益

(4·4 + 1·20)/5 = €7.20

損益分岐点販売量

Q = 21 600/7.2 = 3 000

A: 2 400, B: 600

答え

Q = 3 000 個

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