コーポレートファイナンス：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

損益分岐点分析

貢献利益: CM = p − v
損益分岐点販売量: Q_BE = FC/(p − v)
目標利益: Q = (FC + profit)/(p − v)
利益: π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率: (Q − Q_BE)/Q

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

ある不動産は来年 €12 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 1.5% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 4.5% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。

C₁ = €12 000g = 1.5%r = 4.5%

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€300 000 の住宅ローンを、年 6%、月複利で 30 年間の元利均等の月払いで返済します。6 年目の末の支払い直後に、まだいくら残っていますか？残高 B を求めなさい。

P = €300 0006% / 12N = 360k = 72

B = €

3.NPV と IRRふつう

ある機械の費用は今日 €80 000、耐用年数は 8 年、運転費は毎年 €1 000（各年末に支払い）です。資本コストは 6% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。

C₀ = €80 000M = €1 000n = 8r = 6%

EAC = €

4.NPV と IRRむずかしい

プロジェクト A の費用は €30 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €16 500, €12 000, €7 000 を生みます。プロジェクト B の費用は €40 000 で、€10 000, €16 000, €22 500 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。

A: −30 000, 16 500, 12 000, 7 000B: −40 000, 10 000, 16 000, 22 500

r* = %

5.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が 12 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 6% のとき €1 168 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。

F = €1 000n = 12P = €1 168YTM = 6%

c = %

6.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000、年クーポン 3% の債券が 4 年後に満期を迎え、€1 080 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 3%n = 4P = €1 080

YTM = %

7.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €10 000 000 の株主資本と時価 €4 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 8%、税引前負債コストは 3.5%、税率は 28% です。WACC を求めなさい。

E = €10 000 000D = €4 000 000r_e = 8%r_d = 3.5%T = 28%

WACC = %

8.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €22.00 の株式 5 000 000 株と、1 口 €960 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 4.5%、税率は 25.8% です。株式のベータは 1.8、無リスク金利は 3%、市場収益率は 8% です。WACC を求めなさい。

β = 1.8r_f = 3%r_m = 8%r_d = 4.5%T = 25.8%

WACC = %

9.損益分岐点分析ふつう

ある製品は 2 つの方法でつくることができます。方法 A は固定費が年 €20 000、1 個あたりの変動費が €15 です。より自動化された方法 B は固定費が年 €22 000、1 個あたりの変動費が €11 です。年間生産量 Q がいくつのとき、両方の方法の費用が等しくなりますか？

F_A = €20 000v_A = €15F_B = €22 000v_B = €11

Q = 個

10.損益分岐点分析むずかしい

ある製品は 1 個 €21 で売られ、変動費は 1 個あたり €15、固定費は年 €12 000 です。予算販売量は 3 000 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。

F = €12 000p = €21v = €15予算 = 3 000

MS = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 400000 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

成長型永久年金

PV = C₁/(r − g) = 12 000/(0.045 − 0.015) = 12 000/0.03 = €400 000.00

答え

PV = €400 000.00

2.貨幣の時間価値

答え: B = 274194 €

毎月の返済額

i = 0.005, N = 360

A = 300 000·0.005/(1 − (1 + 0.005)⁻³⁶⁰) = €1 798.65

残りの支払いの現在価値

まだ残っている借入は、残りの支払いでちょうど完済されなければなりません。

N − k = 360 − 72 = 288

B = 1799·(1 − (1 + 0.005)⁻²⁸⁸)/0.005 = €274 193.86

答え

B = €274 193.86

3.NPV と IRR

答え: EAC = 13883 €

等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。

年金現価係数

(1 − 1.06⁻⁸)/0.06 = 6.21

年換算した購入価格

80 000/6.21 = 12 882.88

EAC

EAC = 12 882.88 + 1 000 = €13 882.88

答え

EAC = €13 882.88

4.NPV と IRR

答え: r* = 7.198 %

交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。

キャッシュフローの差

ΔCF₀ = −40 000 − (−30 000) = −10 000

ΔCF₁ = 10 000 − 16 500 = −6 500

ΔCF₂ = 16 000 − 12 000 = 4 000

ΔCF₃ = 22 500 − 7 000 = 15 500

差の IRR

NPV_Δ(7%) = 71.61

NPV_Δ(8%) = −284.76

r* = 7.198%

答え

r* = 7.198%

確認：7.198% では両方の NPV が €1 517.21 です。

5.債券の価格と利回り

答え: c = 8.004 %

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

額面の現在価値

1000·(1 + 0.06)⁻¹² = €496.97

クーポン

C = (1168 − 496.97)/8.384 = €80.04

クーポン・レート

c = 80.04/1000 = 8.004%

答え

c = 8.004%

6.債券の価格と利回り

答え: YTM = 0.9522 %

利回りの方程式

€1 080 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

数値的に解く

P(1%) = €1 078.04, P(1%) = €1 078.04

YTM = 0.9522%

答え

YTM = 0.9522%

7.CAPM と WACC

答え: WACC = 6.434 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €14 000 000, E/V = 0.7143, D/V = 0.2857

WACC

WACC = 0.7143·8% + 0.2857·3.5%·(1 − 0.28) = 6.434%

答え

WACC = 6.434%

8.CAPM と WACC

答え: WACC = 10.71 %

時価

E = 5 000 000·€22.00 = €110 000 000

D = 20 000·€960 = €19 200 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 3% + 1.8·5% = 12%

ウェイト

V = €129 200 000, E/V = 0.8514, D/V = 0.1486

WACC

WACC = 0.8514·12% + 0.1486·4.5%·(1 − 0.258) = 10.71%

答え

WACC = 10.71%

9.損益分岐点分析

答え: Q = 500 個

CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。

総費用が等しい

20 000 + 15Q = 22 000 + 11Q

Q について解く

Q = (22 000 − 20 000)/(15 − 11) = 500

答え

Q = 500 個

この量より少なければ方法 A が安く、多ければ自動化された方法 B が安くなります。

10.損益分岐点分析

答え: MS = 33.33 %

損益分岐点販売量

Q = F/(p − v) = 12 000/6 = 2 000

安全余裕率

MS = (3 000 − 2 000)/3 000·100 = 33.33%

答え

MS = 33.33%

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