1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 3.6%、四半期複利で €12 000 を投資します。4 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €12 0003.6% / 4n = 4
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€12 000 のローンを 3 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 3%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €12 0003% / 12N = 36
A = €
3.NPV と IRRふつう
あるプロジェクトの費用は今日 €40 000 で、4 年間、毎年末に €13 000 を生みます。資本コストは 5% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。
r = 5%CF0 = −40 000CF1 = 13 000CF2 = 13 000CF3 = 13 000CF4 = 13 000
DPB = 年
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €9 500, €14 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −20 000CF1 = 9 500CF2 = 14 000
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 4.5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、11 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4.5%YTM = 5%n = 11
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 3% のクーポンを支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りは 7% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 3%n = 4YTM = 7%
D = 年
7.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €3 000 000 の株主資本と時価 €3 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 12%、税引前負債コストは 6%、税率は 20% です。WACC を求めなさい。
E = €3 000 000D = €3 000 000re = 12%rd = 6%T = 20%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €56.50 の株式 5 000 000 株と、1 口 €1 000 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 3.5%、税率は 20% です。株式のベータは 0.9、無リスク金利は 1%、市場収益率は 8% です。WACC を求めなさい。
β = 0.9rf = 1%rm = 8%rd = 3.5%T = 20%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 2 つの方法でつくることができます。方法 A は固定費が年 €10 000、1 個あたりの変動費が €18 です。より自動化された方法 B は固定費が年 €25 000、1 個あたりの変動費が €12 です。年間生産量 Q がいくつのとき、両方の方法の費用が等しくなりますか？
FA = €10 000vA = €18FB = €25 000vB = €12
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €28 で売られ、変動費は 1 個あたり €25、固定費は年 €4 500 です。予算販売量は 2 100 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €4 500p = €28v = €25予算 = 2 100
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 13850 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.036000000000000004/4 = 0.009
N = m·n = 4·4 = 16
将来価値
FV = 12 000·(1 + 0.009)16 = 12 000·1.154 = €13 849.69
2.貨幣の時間価値
答え: A = 349 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.03/12 = 0.0025
N = 12·3 = 36
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.914
A = 12 000·0.0025/(1 − 0.914) = €348.97
3.NPV と IRR
答え: DPB = 3.43 年
回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。
割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー
年度 1: 13 000/1.05 = 12 380.95 → Σ = 12 380.95
年度 2: 13 000/1.103 = 11 791.38 → Σ = 24 172.34
年度 3: 13 000/1.158 = 11 229.89 → Σ = 35 402.22
年度 4: 13 000/1.216 = 10 695.13 → Σ = 46 097.36
最後の年の端数
DPB = 3 + 4 597.78/10 695.13 = 3.43
割引回収期間は、常に単純回収期間（3.077 年）より長くなります。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 10.72 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(10%) = 206.61
NPV(15%) = −1 153.12
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 10 + 5·206.61/(206.61 − (−1 153.12)) = 10.76%
正確な値: NPV(10.72%) = 0 → IRR = 10.72%
5.債券の価格と利回り
答え: P = 958.1 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €22.50, i = 0.025, N = 22
クーポンの現在価値
€22.50·(1 − 0.5809)/0.025 = €377.22
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: D = 3.814 年
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
各キャッシュフローの現在価値
t = 1: 30/1.07 = 28.04, t·PV = 28.04
t = 2: 30/1.145 = 26.20, t·PV = 52.41
t = 3: 30/1.225 = 24.49, t·PV = 73.47
t = 4: 1030/1.311 = 785.78, t·PV = 3 143.13
デュレーション
P = 864.51
D = 3 297.04/864.51 = 3.814
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.4 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €6 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5
WACC
WACC = 0.5·12% + 0.5·6%·(1 − 0.2) = 8.4%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.002 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 5 000 000·€56.50 = €282 500 000
D = 20 000·€1 000 = €20 000 000
ウェイト
V = €302 500 000, E/V = 0.9339, D/V = 0.06612
WACC
WACC = 0.9339·7.3% + 0.06612·3.5%·(1 − 0.2) = 7.002%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 2500 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
総費用が等しい
10 000 + 18Q = 25 000 + 12Q
Q について解く
Q = (25 000 − 10 000)/(18 − 12) = 2 500
この量より少なければ方法 A が安く、多ければ自動化された方法 B が安くなります。
10.損益分岐点分析
答え: MS = 28.57 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 4 500/3 = 1 500
安全余裕率
MS = (2 100 − 1 500)/2 100·100 = 28.57%