1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
10 年後に €5 000 が必要です。口座の利率は年 4%、月複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
FV = €5 0004% / 12n = 10
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
年 3.6%、月複利で €12 000 を借り、毎月末に €150 を返済します。ローンを完済するまでに何か月かかりますか（最後の返済額は少なくてもよい）？返済回数 N を答えなさい。
P = €12 000A = €1503.6% / 12
N = 回
3.NPV と IRRふつう
あるプロジェクトの費用は今日 €200 000 です。1 年目の末に €23 000 を生み、その後キャッシュフローは永久に年 1% ずつ増加します。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €200 000CF1 = €23 000g = 1%r = 10%
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €13 000, €15 000, €17 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −25 000CF1 = 13 000CF2 = 15 000CF3 = 17 500
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 8% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、6 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%YTM = 3%n = 6
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
残存期間 12 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 9%）が €1 159 で売られています。発行者は 5 年後に €1 090 の償還価格で繰上償還できます。繰上償還利回り YTC をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 9%P = €1 159繰上償還価格 = €1 090繰上償還まで 5 年
YTC = %
7.CAPM と WACCふつう
ある会社は、価値 €5 000 000 の普通株、価値 €2 000 000 の優先株、価値 €5 000 000 の負債で資金調達しています。株主資本コストは 11%、優先株のコストは 7%、税引前負債コストは 6% です。税率は 20% です。WACC を求めなさい。
E = €5 000 000Ps = €2 000 000D = €5 000 000re = 11%rp = 7%rd = 6%T = 20%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €31.50 の株式 5 000 000 株と、1 口 €980 で取引されている債券 40 000 口をもっています。税引前負債コストは 7%、税率は 28% です。株式のベータは 1.3、無リスク金利は 1%、市場収益率は 7% です。WACC を求めなさい。
β = 1.3rf = 1%rm = 7%rd = 7%T = 28%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品の単価は €23、1 個あたりの変動費は €15 です。固定費は月 €40 000 で、利益には 20% の税金がかかります。税引後で €20 000 を稼ぐには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
p = €23v = €15F = €40 000T = 20%税引後利益 = €20 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €8 で売られ、変動費は 1 個あたり €4、固定費は年 €2 000 です。予算販売量は 580 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €2 000p = €8v = €4予算 = 580
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 3354 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = 0.04/12 = 0.003333
N = 12·10 = 120
現在価値
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1.491 = €3 353.83
2.貨幣の時間価値
答え: N = 92 回
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
年金の公式を変形する
i = 0.003
(1 + i)−N = 1 − 12 000·0.003/150 = 0.76
対数を使って解く
N = −ln(0.76)/ln(1.003) = 91.62
返済回数を整数に切り上げる
91 回の満額返済の後にわずかな残高が残り、最後の少額の返済でそれを完済します。
3.NPV と IRR
答え: NPV = 55556 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
キャッシュフローの価値
PV = 23 000/(0.1 − 0.01) = 255 555.56
NPV
NPV = 255 555.56 − 200 000 = €55 555.56
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 34.92 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(30%) = 1 841.15
NPV(35%) = −27.18
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 30 + 5·1 841.15/(1 841.15 − (−27.18)) = 34.93%
正確な値: NPV(34.92%) = 0 → IRR = 34.92%
5.債券の価格と利回り
答え: P = 1273 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €40.00, i = 0.015, N = 12
クーポンの現在価値
€40.00·(1 − 0.8364)/0.015 = €436.30
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: YTC = 6.724 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
1159 = 90·(1 − (1 + y)−5)/y + 1090/(1 + y)5
数値的に解く
y = 6%: €1 193.62
y = 7%: €1 146.17
YTC = 6.724%
最終利回りは 6.998% です。オーバーパー債券の投資家は繰上償還を予想するので、低い方の繰上償還利回りの方が現実的です。
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.75 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = 5 000 000 + 2 000 000 + 5 000 000 = €12 000 000
E/V = 0.4167, Ps/V = 0.1667, D/V = 0.4167
WACC
WACC = 0.4167·11% + 0.1667·7% + 0.4167·6%·(1 − 0.2) = 7.75%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.051 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 5 000 000·€31.50 = €157 500 000
D = 40 000·€980 = €39 200 000
ウェイト
V = €196 700 000, E/V = 0.8007, D/V = 0.1993
WACC
WACC = 0.8007·8.8% + 0.1993·7%·(1 − 0.28) = 8.051%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 8125 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
必要な税引前利益
20 000/(1 − 0.2) = €25 000
必要な販売量
Q = (40 000 + 25 000)/8 = 8 125
10.損益分岐点分析
答え: MS = 13.79 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 2 000/4 = 500
安全余裕率
MS = (580 − 500)/580·100 = 13.79%