1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 3%、月複利で €20 000 を投資します。9 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €20 0003% / 12n = 9
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€150 000 の住宅ローンを、年 4.8%、月複利で 30 年間の元利均等の月払いで返済します。3 年目の末の支払い直後に、まだいくら残っていますか？残高 B を求めなさい。
P = €150 0004.8% / 12N = 360k = 36
B = €
3.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €40 000、耐用年数は 7 年、運転費は毎年 €2 000（各年末に支払い）です。資本コストは 12% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。
C0 = €40 000M = €2 000n = 7r = 12%
EAC = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €50 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €37 000, €23 000, €33 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −50 000CF1 = 37 000CF2 = 23 000CF3 = 33 000
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が年 5% のクーポンを支払い、8 年後に満期を迎えます。最終利回りが 3.5% から 2% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？
F = €1 000クーポンレート = 5%n = 8y1 = 3.5%y2 = 2%
ΔP = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 7% の債券が 9 年後に満期を迎え、€1 105 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 7%n = 9P = €1 105
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ベータ 0.6 の株式の要求収益率は 6.4% です。無リスク金利は 2.5% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 rm はいくらですか？
β = 0.6re = 6.4%rf = 2.5%
rm = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式は 1 000 000 株で、€51.50 で取引されています。株主資本の簿価は €15 500 000 です。1 株あたり €1.30 の配当を支払ったところで、配当は年 4% 成長します。負債の時価は €15 500 000、税引前コストは 3% です。税率は 25.8% です。株主資本コストに配当成長モデルを使って、WACC を求めなさい。
N = 1 000 000P0 = €51.50株主資本の簿価 = €15 500 000D0 = €1.30g = 4%D = €15 500 000rd = 3%T = 25.8%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品の単価は €21、1 個あたりの変動費は €18 です。固定費は月 €4 500 で、利益には 20% の税金がかかります。税引後で €1 500 を稼ぐには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
p = €21v = €18F = €4 500T = 20%税引後利益 = €1 500
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある会社は月に 6 000 個を各 €26 で販売しており、1 個あたりの変動費は €20、固定費は月 €24 000 です。1 個あたりの変動費が €1 上がり、価格は変わりません。同じ利益を保つには、今後月に何個 Q 売る必要がありますか？
Q = 6 000p = €26v = €20 → €21F = €24 000
Q = 個
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 26190 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.03/12 = 0.0025
N = m·n = 12·9 = 108
将来価値
FV = 20 000·(1 + 0.0025)108 = 20 000·1.31 = €26 190.46
2.貨幣の時間価値
答え: B = 142775 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.004, N = 360
A = 150 000·0.004/(1 − (1 + 0.004)−360) = €787.00
残りの支払いの現在価値
まだ残っている借入は、残りの支払いでちょうど完済されなければなりません。
N − k = 360 − 36 = 324
B = 787·(1 − (1 + 0.004)−324)/0.004 = €142 774.75
3.NPV と IRR
答え: EAC = 10765 €
等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。
年金現価係数
(1 − 1.12−7)/0.12 = 4.564
EAC
EAC = 8 764.71 + 2 000 = €10 764.71
4.NPV と IRR
答え: IRR = 40.31 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(40%) = 189.50
NPV(45%) = −2 718.85
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 40 + 5·189.50/(189.50 − (−2 718.85)) = 40.33%
正確な値: NPV(40.31%) = 0 → IRR = 40.31%
5.債券の価格と利回り
答え: ΔP = 116.7 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
元の利回りでの価格
C = €50.00, i = 0.035, N = 8
€50.00·(1 − 0.7594)/0.035 + €1 000·0.7594 = €343.70 + €759.41 = €1 103.11
新しい利回りでの価格
C = €50.00, i = 0.02, N = 8
€50.00·(1 − 0.8535)/0.02 + €1 000·0.8535 = €366.27 + €853.49 = €1 219.76
変化
ΔP = 1 219.76 − 1 103.11 = €116.66
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 5.49 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 105 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
数値的に解く
P(5%) = €1 142.16, P(6%) = €1 068.02
YTM = 5.49%
7.CAPM と WACC
答え: rm = 9 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
市場リスクプレミアム
rm − rf = (6.4% − 2.5%)/0.6 = 6.5%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 5.608 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
株主資本コスト
D1 = 1.3·1.04 = €1.35
re = 1.352/51.5 + 0.04 = 6.625%
時価
E = 1 000 000·€51.50 = €51 500 000
V = €67 000 000, E/V = 0.7687, D/V = 0.2313
WACC
WACC = 0.7687·6.625% + 0.2313·3%·(1 − 0.258) = 5.608%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 2125 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
必要な販売量
Q = (4 500 + 1 875)/3 = 2 125
10.損益分岐点分析
答え: Q = 7200 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
現在の利益
Π = 6 000·(26 − 20) − 24 000 = €12 000
同じ利益に必要な個数
Q = (24 000 + 12 000)/5 = 7 200