1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
クレジットカードの名目年利は 19.5%、月複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。
r = 19.5%m = 12
EAR = %
2.貨幣の時間価値むずかしい
30 年間、毎年初めに €1 000 を預け入れます。最初の預け入れは今日です。口座の利率は年 8% です。30 年目の末に口座にはいくらありますか？FV を求めなさい。
A = €1 000i = 8%n = 30
FV = €
3.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €80 000 です。7 年間、毎年末に €11 500 を生み、その後 €8 000 で売却できます。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €80 000CF = €11 500S = €8 000n = 7r = 6%
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は €20 000 で、1 年目から 4 年目の各年末に €8 000, €6 500, €10 500, €9 000 を生みます。キャッシュフローは資本コスト 12% で再投資できます。修正内部収益率 MIRR をパーセントで求めなさい。
r = 12%CF0 = −20 000CF1 = 8 000CF2 = 6 500CF3 = 10 500CF4 = 9 000
MIRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 8% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、6 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%YTM = 5%n = 6
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 4% の債券が 7 年後に満期を迎え、€1 095 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%n = 7P = €1 095
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある会社の負債資本比率（時価）は 1.5 です。株主資本コストは 11%、税引前負債コストは 3%、税率は 25% です。WACC を求めなさい。
D/E = 1.5re = 11%rd = 3%T = 25%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式は 2 000 000 株で、€34.00 で取引されています。株主資本の簿価は €40 800 000 です。1 株あたり €2.50 の配当を支払ったところで、配当は年 2% 成長します。負債の時価は €68 000 000、税引前コストは 4.5% です。税率は 25% です。株主資本コストに配当成長モデルを使って、WACC を求めなさい。
N = 2 000 000P0 = €34.00株主資本の簿価 = €40 800 000D0 = €2.50g = 2%D = €68 000 000rd = 4.5%T = 25%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €53 で売られ、変動費は 1 個あたり €45 です。固定費は月 €8 000 です。月 €2 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €8 000p = €53v = €45利益 = €2 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €18 で売られ、変動費は 1 個あたり €12、固定費は年 €6 000 です。予算販売量は 1 300 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €6 000p = €18v = €12予算 = 1 300
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: EAR = 21.34 %
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
1 年分の複利計算
EAR = (1 + 0.01625)12 − 1 = 1.213 − 1 = 21.34%
利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 122346 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
通常の年金係数
((1 + 0.08)30 − 1)/0.08 = 113.3
期首払い年金
各預け入れは 1 年長く運用されます。
FV = 1 000·113.3·1.08 = €122 345.87
3.NPV と IRR
答え: NPV = −10482 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −80 000 + 64 197.39 + 5 320.46 = −€10 482.16
4.NPV と IRR
答え: MIRR = 19.03 %
修正 IRR：各流入を再投資利率（通常は資本コスト）でプロジェクトの終わりまで複利計算し、終価 TV を求めます。MIRR は初期投資を TV に変える利率です：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。
流入の終価
8 000·1.123 = 11 239.42
6 500·1.122 = 8 153.60
10 500·1.121 = 11 760.00
9 000·1.120 = 9 000.00
TV = 40 153.02
MIRR
MIRR = (40 153.02/20 000)1/4 − 1 = 19.03%
5.債券の価格と利回り
答え: P = 1154 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €40.00, i = 0.025, N = 12
クーポンの現在価値
€40.00·(1 − 0.7436)/0.025 = €410.31
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 2.504 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 095 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
数値的に解く
P(2%) = €1 129.44, P(3%) = €1 062.30
YTM = 2.504%
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 5.75 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
D/E からの重み
E/V = 1/(1 + 1.5) = 0.4
D/V = 1.5/(1 + 1.5) = 0.6
WACC
WACC = 0.4·11% + 0.6·3%·(1 − 0.25) = 5.75%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.438 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
株主資本コスト
D1 = 2.5·1.02 = €2.55
re = 2.55/34 + 0.02 = 9.5%
時価
E = 2 000 000·€34.00 = €68 000 000
V = €136 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5
WACC
WACC = 0.5·9.5% + 0.5·4.5%·(1 − 0.25) = 6.438%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 1250 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (8 000 + 2 000)/8 = 1 250
10.損益分岐点分析
答え: MS = 23.08 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 6 000/6 = 1 000
安全余裕率
MS = (1 300 − 1 000)/1 300·100 = 23.08%