1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
2 年後に €10 000 が必要です。口座の利率は年 6%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
FV = €10 0006% / 4n = 2
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€12 000 のローンを 6 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 4.8%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €12 0004.8% / 12N = 72
A = €
3.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €40 000 です。7 年間、毎年末に €5 500 を生み、その後 €4 000 で売却できます。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €40 000CF = €5 500S = €4 000n = 7r = 8%
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €10 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €7 000, €4 000, €5 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −10 000CF1 = 7 000CF2 = 4 000CF3 = 5 500
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 2% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、5 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 2%YTM = 3%n = 5
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 8% の債券が 7 年後に満期を迎え、€880 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%n = 7P = €880
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €4 000 000 の株主資本と時価 €2 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 10%、税引前負債コストは 4%、税率は 25% です。WACC を求めなさい。
E = €4 000 000D = €2 000 000re = 10%rd = 4%T = 25%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式は 5 000 000 株で、€46.50 で取引されています。株主資本の簿価は €139 500 000 です。1 株あたり €2.60 の配当を支払ったところで、配当は年 2% 成長します。負債の時価は €139 500 000、税引前コストは 4% です。税率は 21% です。株主資本コストに配当成長モデルを使って、WACC を求めなさい。
N = 5 000 000P0 = €46.50株主資本の簿価 = €139 500 000D0 = €2.60g = 2%D = €139 500 000rd = 4%T = 21%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €16 で売られ、変動費は 1 個あたり €6 です。固定費は月 €10 000 です。月 €10 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €10 000p = €16v = €6利益 = €10 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €8 で売られ、変動費は 1 個あたり €4、固定費は年 €16 000 です。予算販売量は 6 000 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €16 000p = €8v = €4予算 = 6 000
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 8877 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = 0.06/4 = 0.015
N = 4·2 = 8
現在価値
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1.126 = €8 877.11
2.貨幣の時間価値
答え: A = 192.1 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.048/12 = 0.004
N = 12·6 = 72
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.7502
A = 12 000·0.004/(1 − 0.7502) = €192.15
3.NPV と IRR
答え: NPV = −9031 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −40 000 + 28 635.04 + 2 333.96 = −€9 031.00
4.NPV と IRR
答え: IRR = 31.92 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(30%) = 254.89
NPV(35%) = −384.60
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 30 + 5·254.89/(254.89 − (−384.60)) = 31.99%
正確な値: NPV(31.92%) = 0 → IRR = 31.92%
5.債券の価格と利回り
答え: P = 953.9 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €10.00, i = 0.015, N = 10
クーポンの現在価値
€10.00·(1 − 0.8617)/0.015 = €92.22
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 10.51 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€880 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
数値的に解く
P(10%) = €902.63, P(11%) = €858.63
YTM = 10.51%
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.667 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €6 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333
WACC
WACC = 0.6667·10% + 0.3333·4%·(1 − 0.25) = 7.667%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 6 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
株主資本コスト
D1 = 2.6·1.02 = €2.65
re = 2.652/46.5 + 0.02 = 7.703%
時価
E = 5 000 000·€46.50 = €232 500 000
V = €372 000 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375
WACC
WACC = 0.625·7.703% + 0.375·4%·(1 − 0.21) = 6%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 2000 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (10 000 + 10 000)/10 = 2 000
10.損益分岐点分析
答え: MS = 33.33 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 16 000/4 = 4 000
安全余裕率
MS = (6 000 − 4 000)/6 000·100 = 33.33%