1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
8 年後に €5 000 が必要です。口座の利率は年 3.6%、月複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
FV = €5 0003.6% / 12n = 8
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€25 000 のローンを 4 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 6%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €25 0006% / 12N = 48
A = €
3.NPV と IRRふつう
€30 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€8 000, €13 000, €12 000。資本コストは 5% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 5%CF0 = −30 000CF1 = 8 000CF2 = 13 000CF3 = 12 000
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €17 000, €16 500, €12 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −25 000CF1 = 17 000CF2 = 16 500CF3 = 12 500
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
最終利回りが 8% のときに、残存期間 5 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 5%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 9% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%n = 5y0 = 8%y1 = 9%
HPR = %
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 4% の債券が 10 年後に満期を迎え、€885 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%n = 10P = €885
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある会社の株主資本の価値は €5 000 000、負債の価値は €3 000 000 です。WACC は 6.08%、税引前負債コストは 4%、税率は 28% です。株主資本コスト re を求めなさい。
E = €5 000 000D = €3 000 000WACC = 6.08%rd = 4%T = 28%
re = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.25 で 1.2 です。負債資本比率を 0.6 に引き上げる計画です。税率は 30%、無リスク金利は 3.5%、市場リスクプレミアムは 4% です。変更後の株主資本コスト re を求めなさい。
βL = 1.2D/E1 = 0.25D/E2 = 0.6T = 30%rf = 3.5%rm − rf = 4%
re = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €14 で売られ、変動費は 1 個あたり €8 です。固定費は月 €15 000 です。月 €6 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €15 000p = €14v = €8利益 = €6 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある会社は 1 800 個を各 €9 で販売しており、1 個あたりの変動費は €4、固定費は €6 000 です。販売量が 20% 減少すると、営業利益は何パーセント %ΔΠ 変化しますか？
Q = 1 800p = €9v = €4F = €6 000%ΔQ = −20%
%ΔΠ = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 3750 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = 0.036000000000000004/12 = 0.003
N = 12·8 = 96
現在価値
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1.333 = €3 750.42
2.貨幣の時間価値
答え: A = 587.1 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.06/12 = 0.005
N = 12·4 = 48
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.7871
A = 25 000·0.005/(1 − 0.7871) = €587.13
3.NPV と IRR
答え: NPV = −223.5 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0.05)1 = 8 000/1.05 = 7 619.05
CF2/(1 + 0.05)2 = 13 000/1.103 = 11 791.38
CF3/(1 + 0.05)3 = 12 000/1.158 = 10 366.05
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 40.38 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(40%) = 116.62
NPV(45%) = −1 327.85
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 40 + 5·116.62/(116.62 − (−1 327.85)) = 40.4%
正確な値: NPV(40.38%) = 0 → IRR = 40.38%
5.債券の価格と利回り
答え: HPR = 4.566 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
購入価格
C = €50.00, i = 0.08, N = 5
€50.00·(1 − 0.6806)/0.08 + €1 000·0.6806 = €199.64 + €680.58 = €880.22
売却価格
C = €50.00, i = 0.09, N = 4
€50.00·(1 − 0.7084)/0.09 + €1 000·0.7084 = €161.99 + €708.43 = €870.41
保有期間利回り
HPR = (50 + 870.41 − 880.22)/880.22 = 4.566%
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 5.528 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€885 = €40·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
数値的に解く
P(5%) = €922.78, P(6%) = €852.80
YTM = 5.528%
7.CAPM と WACC
答え: re = 8 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €8 000 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375
WACC の負債の部分
0.375·4%·(1 − 0.28) = 1.08%
株主資本コスト
re = (6.08% − 1.08%)/0.625 = 8%
8.CAPM と WACC
答え: re = 9.301 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
ベータをアンレバーする
βU = 1.2/(1 + 0.7·0.25) = 1.021
新しい D/E でリレバーする
βL = 1.021·(1 + 0.7·0.6) = 1.45
株主資本コスト（CAPM）
re = 3.5% + 1.45·4% = 9.301%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 3500 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (15 000 + 6 000)/6 = 3 500
10.損益分岐点分析
答え: %ΔΠ = −60 %
営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益 は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。
貢献利益と利益
CM = 1 800·5 = €9 000
Π = 9 000 − 6 000 = €3 000
確認：新しい利益 = 1 440·5 − 6 000 = €1 200.00。