1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
9 年後に €20 000 が必要です。口座の利率は年 4.8%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
FV = €20 0004.8% / 4n = 9
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
29 年間、毎月末に €250 を積み立てます。口座の利率は年 3.6%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €2503.6% / 12N = 348
FV = €
3.NPV と IRRふつう
あるプロジェクトの費用は今日 €20 000 で、6 年間、毎年末に €6 500 を生みます。資本コストは 12% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。
r = 12%CF0 = −20 000CF1 = 6 500CF2 = 6 500CF3 = 6 500CF4 = 6 500CF5 = 6 500CF6 = 6 500
DPB = 年
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €29 000, €15 000, €24 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −40 000CF1 = 29 000CF2 = 15 000CF3 = 24 500
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 6% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、6 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 2.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 6%YTM = 2.5%n = 6
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 3% の債券が 3 年後に満期を迎え、€960 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 3%n = 3P = €960
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €3 000 000 の株主資本と時価 €6 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 14%、税引前負債コストは 6%、税率は 25% です。WACC を求めなさい。
E = €3 000 000D = €6 000 000re = 14%rd = 6%T = 25%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株主資本の時価は €12 000 000、株主資本コストは 14% です。負債は 4 000 枚の債券（額面 €1 000、年間クーポン 6%、残存期間 6 年）からなり、1 枚 €1 051 で取引されています。税率は 25.8% です。債券の最終利回りを税引前負債コストとして、WACC を求めなさい。
E = €12 000 000re = 14%債券: 4 000 × €1 051クーポンレート = 6%n = 6T = 25.8%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €21 で売られ、変動費は 1 個あたり €18 です。固定費は月 €15 000 です。月 €12 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €15 000p = €21v = €18利益 = €12 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある会社は 1 000 個を各 €12 で販売しており、1 個あたりの変動費は €8、固定費は €3 200 です。販売量が 12% 増加すると、営業利益は何パーセント %ΔΠ 変化しますか？
Q = 1 000p = €12v = €8F = €3 200%ΔQ = +12%
%ΔΠ = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 13018 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = 0.048/4 = 0.012
N = 4·9 = 36
現在価値
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1.536 = €13 017.62
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 153010 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.036000000000000004/12 = 0.003
N = 12·29 = 348
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 250·(2.836 − 1)/0.003 = €153 010.05
自分で払い込んだのは €87 000。残りは利息です。
3.NPV と IRR
答え: DPB = 4.07 年
回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。
割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー
年度 1: 6 500/1.12 = 5 803.57 → Σ = 5 803.57
年度 2: 6 500/1.254 = 5 181.76 → Σ = 10 985.33
年度 3: 6 500/1.405 = 4 626.57 → Σ = 15 611.90
年度 4: 6 500/1.574 = 4 130.87 → Σ = 19 742.77
年度 5: 6 500/1.762 = 3 688.27 → Σ = 23 431.05
最後の年の端数
DPB = 4 + 257.23/3 688.27 = 4.07
割引回収期間は、常に単純回収期間（3.077 年）より長くなります。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 34.35 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(30%) = 2 335.00
NPV(35%) = −330.23
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 30 + 5·2 335.00/(2 335.00 − (−330.23)) = 34.38%
正確な値: NPV(34.35%) = 0 → IRR = 34.35%
5.債券の価格と利回り
答え: P = 1194 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €30.00, i = 0.0125, N = 12
クーポンの現在価値
€30.00·(1 − 0.8615)/0.0125 = €332.38
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 4.454 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€960 = €30·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
数値的に解く
P(4%) = €972.25, P(5%) = €945.54
YTM = 4.454%
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.667 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €9 000 000, E/V = 0.3333, D/V = 0.6667
WACC
WACC = 0.3333·14% + 0.6667·6%·(1 − 0.25) = 7.667%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 11.33 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
負債コスト（YTM）
1051 = 60·(1 − (1 + y)−6)/y + 1000/(1 + y)6
y = 4.995%
時価
D = 4 000·€1 051 = €4 204 000
V = €16 204 000, E/V = 0.7406, D/V = 0.2594
WACC
WACC = 0.7406·14% + 0.2594·4.995%·(1 − 0.258) = 11.33%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 9000 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (15 000 + 12 000)/3 = 9 000
10.損益分岐点分析
答え: %ΔΠ = 60 %
営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益 は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。
貢献利益と利益
CM = 1 000·4 = €4 000
Π = 4 000 − 3 200 = €800
確認：新しい利益 = 1 120·4 − 3 200 = €1 280.00。