1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 3%、四半期複利で €1 000 を投資します。10 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €1 0003% / 4n = 10
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€250 000 の住宅ローンを、年 7.2%、月複利で 30 年間の元利均等の月払いで返済します。11 年目の末の支払い直後に、まだいくら残っていますか？残高 B を求めなさい。
P = €250 0007.2% / 12N = 360k = 132
B = €
3.NPV と IRRふつう
€45 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€20 000, €11 000, €15 000。資本コストは 7.000000000000001% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 7.000000000000001%CF0 = −45 000CF1 = 20 000CF2 = 11 000CF3 = 15 000
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €11 000, €11 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −20 000CF1 = 11 000CF2 = 11 000
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、6 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%YTM = 3.5%n = 6
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
ある債券が €985 で取引され、最終利回りは 4%（年複利）、マコーレー・デュレーションは 7.4 年です。利回りが 100 ベーシスポイント上昇した場合の新しい価格 P を、修正デュレーションを使って推定しなさい。
P0 = €985y = 4%D = 7.4Δy = +100 bp
P = €
7.CAPM と WACCふつう
ある会社は、価値 €5 000 000 の普通株、価値 €1 500 000 の優先株、価値 €2 000 000 の負債で資金調達しています。株主資本コストは 11%、優先株のコストは 7.5%、税引前負債コストは 4.5% です。税率は 28% です。WACC を求めなさい。
E = €5 000 000Ps = €1 500 000D = €2 000 000re = 11%rp = 7.5%rd = 4.5%T = 28%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.2 で 0.9 です。負債資本比率を 1.25 に引き上げる計画です。税率は 28%、無リスク金利は 3%、市場リスクプレミアムは 4% です。変更後の株主資本コスト re を求めなさい。
βL = 0.9D/E1 = 0.2D/E2 = 1.25T = 28%rf = 3%rm − rf = 4%
re = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €20 で売られ、変動費は 1 個あたり €8 です。固定費は月 €18 000 です。月 €12 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €18 000p = €20v = €8利益 = €12 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €12 で売られ、変動費は 1 個あたり €4、固定費は年 €4 000 です。予算販売量は 750 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €4 000p = €12v = €4予算 = 750
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 1348 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.03/4 = 0.0075
N = m·n = 4·10 = 40
将来価値
FV = 1 000·(1 + 0.0075)40 = 1 000·1.348 = €1 348.35
2.貨幣の時間価値
答え: B = 210521 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.006, N = 360
A = 250 000·0.006/(1 − (1 + 0.006)−360) = €1 696.97
残りの支払いの現在価値
まだ残っている借入は、残りの支払いでちょうど完済されなければなりません。
N − k = 360 − 132 = 228
B = 1697·(1 − (1 + 0.006)−228)/0.006 = €210 520.90
3.NPV と IRR
答え: NPV = −4456 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0.07)1 = 20 000/1.07 = 18 691.59
CF2/(1 + 0.07)2 = 11 000/1.145 = 9 607.83
CF3/(1 + 0.07)3 = 15 000/1.225 = 12 244.47
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 6.596 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(5%) = 453.51
NPV(10%) = −909.09
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 5 + 5·453.51/(453.51 − (−909.09)) = 6.664%
正確な値: NPV(6.596%) = 0 → IRR = 6.596%
5.債券の価格と利回り
答え: P = 1081 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €25.00, i = 0.0175, N = 12
クーポンの現在価値
€25.00·(1 − 0.8121)/0.0175 = €268.49
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: P = 914.9 €
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
推定価格変化
%ΔP ≈ −7.115·(0.01) = −7.115%
P ≈ 985·(1 − 0.07115) = €914.91
デュレーションは線形の推定です。利回りの変化が大きいと、コンベクシティにより実際の価格は少し高くなります。
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.556 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = 5 000 000 + 1 500 000 + 2 000 000 = €8 500 000
E/V = 0.5882, Ps/V = 0.1765, D/V = 0.2353
WACC
WACC = 0.5882·11% + 0.1765·7.5% + 0.2353·4.5%·(1 − 0.28) = 8.556%
8.CAPM と WACC
答え: re = 8.979 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
ベータをアンレバーする
βU = 0.9/(1 + 0.72·0.2) = 0.7867
新しい D/E でリレバーする
βL = 0.7867·(1 + 0.72·1.25) = 1.495
株主資本コスト（CAPM）
re = 3% + 1.495·4% = 8.979%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 2500 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (18 000 + 12 000)/12 = 2 500
10.損益分岐点分析
答え: MS = 33.33 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 4 000/8 = 500
安全余裕率
MS = (750 − 500)/750·100 = 33.33%