1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
年金が毎年末に €5 000 を 19 年間支払います。利率は年 8% です。この年金の現在価値 PV を求めなさい。
A = €5 000i = 8%n = 19
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€20 000 のローンを 4 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 3.6%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €20 0003.6% / 12N = 48
A = €
3.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €60 000 です。5 年間、毎年末に €15 500 を生み、その後 €15 000 で売却できます。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €60 000CF = €15 500S = €15 000n = 5r = 8%
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €50 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €20 000, €32 500, €18 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −50 000CF1 = 20 000CF2 = 32 500CF3 = 18 500
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 3% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、8 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 3%YTM = 3.5%n = 8
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 2% のクーポンを支払い、5 年後に満期を迎えます。最終利回りは 6% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 2%n = 5YTM = 6%
D = 年
7.CAPM と WACCふつう
ある会社の株主資本の価値は €5 000 000、負債の価値は €3 000 000 です。WACC は 8.45%、税引前負債コストは 6%、税率は 30% です。株主資本コスト re を求めなさい。
E = €5 000 000D = €3 000 000WACC = 8.45%rd = 6%T = 30%
re = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株主資本の時価は €6 000 000、株主資本コストは 12% です。負債は 2 000 枚の債券（額面 €1 000、年間クーポン 7%、残存期間 5 年）からなり、1 枚 €941 で取引されています。税率は 30% です。債券の最終利回りを税引前負債コストとして、WACC を求めなさい。
E = €6 000 000re = 12%債券: 2 000 × €941クーポンレート = 7%n = 5T = 30%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €33 で売られ、変動費は 1 個あたり €25 です。固定費は月 €16 000 です。月 €6 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €16 000p = €33v = €25利益 = €6 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある会社は 2 250 個を各 €40 で販売しており、1 個あたりの変動費は €20、固定費は €30 000 です。販売量が 20% 減少すると、営業利益は何パーセント %ΔΠ 変化しますか？
Q = 2 250p = €40v = €20F = €30 000%ΔQ = −20%
%ΔΠ = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 48018 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
年金現価係数
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0.2317)/0.08 = 9.604
現在価値
PV = 5 000·9.604 = €48 018.00
2.貨幣の時間価値
答え: A = 448 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.036000000000000004/12 = 0.003
N = 12·4 = 48
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.8661
A = 20 000·0.003/(1 − 0.8661) = €448.01
3.NPV と IRR
答え: NPV = 12096 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −60 000 + 61 887.01 + 10 208.75 = €12 095.75
4.NPV と IRR
答え: IRR = 19.93 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(15%) = 4 130.02
NPV(20%) = −57.87
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 15 + 5·4 130.02/(4 130.02 − (−57.87)) = 19.93%
正確な値: NPV(19.93%) = 0 → IRR = 19.93%
5.債券の価格と利回り
答え: P = 965.4 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €15.00, i = 0.0175, N = 16
クーポンの現在価値
€15.00·(1 − 0.7576)/0.0175 = €207.76
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: D = 4.786 年
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
各キャッシュフローの現在価値
t = 1: 20/1.06 = 18.87, t·PV = 18.87
t = 2: 20/1.124 = 17.80, t·PV = 35.60
t = 3: 20/1.191 = 16.79, t·PV = 50.38
t = 4: 20/1.262 = 15.84, t·PV = 63.37
t = 5: 1020/1.338 = 762.20, t·PV = 3 811.02
デュレーション
P = 831.51
D = 3 979.23/831.51 = 4.786
7.CAPM と WACC
答え: re = 11 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €8 000 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375
WACC の負債の部分
0.375·6%·(1 − 0.3) = 1.575%
株主資本コスト
re = (8.45% − 1.575%)/0.625 = 11%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 10.55 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
負債コスト（YTM）
941 = 70·(1 − (1 + y)−5)/y + 1000/(1 + y)5
y = 8.497%
時価
D = 2 000·€941 = €1 882 000
V = €7 882 000, E/V = 0.7612, D/V = 0.2388
WACC
WACC = 0.7612·12% + 0.2388·8.497%·(1 − 0.3) = 10.55%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 2750 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (16 000 + 6 000)/8 = 2 750
10.損益分岐点分析
答え: %ΔΠ = −60 %
営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益 は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。
貢献利益と利益
CM = 2 250·20 = €45 000
Π = 45 000 − 30 000 = €15 000
確認：新しい利益 = 1 800·20 − 30 000 = €6 000.00。