1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 3%、四半期複利で €20 000 を投資します。3 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €20 0003% / 4n = 3
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
30 年間、毎年初めに €6 000 を預け入れます。最初の預け入れは今日です。口座の利率は年 7% です。30 年目の末に口座にはいくらありますか？FV を求めなさい。
A = €6 000i = 7%n = 30
FV = €
3.NPV と IRRふつう
あるプロジェクトの費用は今日 €50 000 で、1 年目から 5 年目の各年末に €10 000, €11 000, €21 500, €21 000, €10 500 を生みます。資本コストは 10% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。
r = 10%CF0 = −50 000CF1 = 10 000CF2 = 11 000CF3 = 21 500CF4 = 21 000CF5 = 10 500
DPB = 年
4.NPV と IRRむずかしい
€50 000 の投資が 4 年間、毎年末に €13 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
C0 = €50 000CF = €13 500n = 4
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
最終利回りが 6% のときに、残存期間 9 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 2%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 7% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 2%n = 9y0 = 6%y1 = 7%
HPR = %
6.債券の価格と利回りむずかしい
ある債券が €940 で取引され、最終利回りは 4%（年複利）、マコーレー・デュレーションは 11.9 年です。利回りが 100 ベーシスポイント低下した場合の新しい価格 P を、修正デュレーションを使って推定しなさい。
P0 = €940y = 4%D = 11.9Δy = −100 bp
P = €
7.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €12 000 000 の株主資本と時価 €4 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 13%、税引前負債コストは 3.5%、税率は 28% です。WACC を求めなさい。
E = €12 000 000D = €4 000 000re = 13%rd = 3.5%T = 28%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €57.50 の株式 2 500 000 株と、1 口 €1 050 で取引されている債券 10 000 口をもっています。税引前負債コストは 7%、税率は 25.8% です。株式のベータは 1.1、無リスク金利は 2%、市場収益率は 8.5% です。WACC を求めなさい。
β = 1.1rf = 2%rm = 8.5%rd = 7%T = 25.8%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €48 で売られ、変動費は 1 個あたり €45 です。固定費は月 €7 500 です。月 €6 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €7 500p = €48v = €45利益 = €6 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €24 で売られ、変動費は 1 個あたり €20、固定費は年 €2 000 です。予算販売量は 900 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €2 000p = €24v = €20予算 = 900
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 21876 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.03/4 = 0.0075
N = m·n = 4·3 = 12
将来価値
FV = 20 000·(1 + 0.0075)12 = 20 000·1.094 = €21 876.14
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 606438 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
通常の年金係数
((1 + 0.07)30 − 1)/0.07 = 94.46
期首払い年金
各預け入れは 1 年長く運用されます。
FV = 6 000·94.46·1.07 = €606 438.25
3.NPV と IRR
答え: DPB = 4.203 年
回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。
割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー
年度 1: 10 000/1.1 = 9 090.91 → Σ = 9 090.91
年度 2: 11 000/1.21 = 9 090.91 → Σ = 18 181.82
年度 3: 21 500/1.331 = 16 153.27 → Σ = 34 335.09
年度 4: 21 000/1.464 = 14 343.28 → Σ = 48 678.37
年度 5: 10 500/1.611 = 6 519.67 → Σ = 55 198.04
最後の年の端数
DPB = 4 + 1 321.63/6 519.67 = 4.203
割引回収期間は、常に単純回収期間（3.357 年）より長くなります。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 3.151 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
必要な年金現価係数
(1 − (1 + i)−4)/i = 50 000/13 500 = 3.704
利率について解く
利率が上がると年金現価係数は下がります。利率を挟み込んで絞り込みましょう。
i = 3%: 3.717
i = 4%: 3.63
IRR = 3.151%
5.債券の価格と利回り
答え: HPR = −0.8926 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
購入価格
C = €20.00, i = 0.06, N = 9
€20.00·(1 − 0.5919)/0.06 + €1 000·0.5919 = €136.03 + €591.90 = €727.93
売却価格
C = €20.00, i = 0.07, N = 8
€20.00·(1 − 0.582)/0.07 + €1 000·0.582 = €119.43 + €582.01 = €701.44
保有期間利回り
HPR = (20 + 701.44 − 727.93)/727.93 = −0.8926%
6.債券の価格と利回り
答え: P = 1048 €
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
推定価格変化
%ΔP ≈ −11.44·(−0.01) = 11.44%
P ≈ 940·(1 + 0.1144) = €1 047.56
デュレーションは線形の推定です。利回りの変化が大きいと、コンベクシティにより実際の価格は少し高くなります。
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 10.38 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €16 000 000, E/V = 0.75, D/V = 0.25
WACC
WACC = 0.75·13% + 0.25·3.5%·(1 − 0.28) = 10.38%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.881 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 500 000·€57.50 = €143 750 000
D = 10 000·€1 050 = €10 500 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 2% + 1.1·6.5% = 9.15%
ウェイト
V = €154 250 000, E/V = 0.9319, D/V = 0.06807
WACC
WACC = 0.9319·9.15% + 0.06807·7%·(1 − 0.258) = 8.881%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 4500 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (7 500 + 6 000)/3 = 4 500
10.損益分岐点分析
答え: MS = 44.44 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 2 000/4 = 500
安全余裕率
MS = (900 − 500)/900·100 = 44.44%