1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
年金が毎年末に €1 500 を 15 年間支払います。利率は年 3% です。この年金の現在価値 PV を求めなさい。
A = €1 500i = 3%n = 15
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
13 年間、毎月末に €300 を積み立てます。口座の利率は年 5.4%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €3005.4% / 12N = 156
FV = €
3.NPV と IRRふつう
€30 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€12 000, €9 000, €9 000。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 12%CF0 = −30 000CF1 = 12 000CF2 = 9 000CF3 = 9 000
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €9 000, €9 000, €16 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −25 000CF1 = 9 000CF2 = 9 000CF3 = 16 000
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が 7 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 9% のとき €748 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。
F = €1 000n = 7P = €748YTM = 9%
c = %
6.債券の価格と利回りむずかしい
残存期間 20 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 5%）が €1 136 で売られています。発行者は 5 年後に €1 050 の償還価格で繰上償還できます。繰上償還利回り YTC をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%P = €1 136繰上償還価格 = €1 050繰上償還まで 5 年
YTC = %
7.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €4 000 000 の株主資本と時価 €4 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 8%、税引前負債コストは 4.5%、税率は 20% です。WACC を求めなさい。
E = €4 000 000D = €4 000 000re = 8%rd = 4.5%T = 20%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株主資本の時価は €5 000 000、株主資本コストは 13% です。負債は 2 000 枚の債券（額面 €1 000、年間クーポン 5%、残存期間 4 年）からなり、1 枚 €1 036 で取引されています。税率は 21% です。債券の最終利回りを税引前負債コストとして、WACC を求めなさい。
E = €5 000 000re = 13%債券: 2 000 × €1 036クーポンレート = 5%n = 4T = 21%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 2 つの方法でつくることができます。方法 A は固定費が年 €30 000、1 個あたりの変動費が €18 です。より自動化された方法 B は固定費が年 €42 500、1 個あたりの変動費が €13 です。年間生産量 Q がいくつのとき、両方の方法の費用が等しくなりますか？
FA = €30 000vA = €18FB = €42 500vB = €13
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €9 で売られ、変動費は 1 個あたり €4、固定費は年 €5 000 です。予算販売量は 1 800 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €5 000p = €9v = €4予算 = 1 800
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 17907 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
年金現価係数
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0.6419)/0.03 = 11.94
現在価値
PV = 1 500·11.94 = €17 906.90
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 67641 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045
N = 12·13 = 156
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 300·(2.015 − 1)/0.0045 = €67 640.61
自分で払い込んだのは €46 800。残りは利息です。
3.NPV と IRR
答え: NPV = −5705 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0.12)1 = 12 000/1.12 = 10 714.29
CF2/(1 + 0.12)2 = 9 000/1.254 = 7 174.74
CF3/(1 + 0.12)3 = 9 000/1.405 = 6 406.02
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 15.33 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(15%) = 151.64
NPV(20%) = −1 990.74
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 15 + 5·151.64/(151.64 − (−1 990.74)) = 15.35%
正確な値: NPV(15.33%) = 0 → IRR = 15.33%
5.債券の価格と利回り
答え: c = 3.993 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
額面の現在価値
1000·(1 + 0.09)−7 = €547.03
クーポン
C = (748 − 547.03)/5.033 = €39.93
6.債券の価格と利回り
答え: YTC = 2.975 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
1136 = 50·(1 − (1 + y)−5)/y + 1050/(1 + y)5
数値的に解く
y = 2%: €1 186.69
y = 3%: €1 134.72
YTC = 2.975%
最終利回りは 3.999% です。オーバーパー債券の投資家は繰上償還を予想するので、低い方の繰上償還利回りの方が現実的です。
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 5.8 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €8 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5
WACC
WACC = 0.5·8% + 0.5·4.5%·(1 − 0.2) = 5.8%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 10.12 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
負債コスト（YTM）
1036 = 50·(1 − (1 + y)−4)/y + 1000/(1 + y)4
y = 4.008%
時価
D = 2 000·€1 036 = €2 072 000
V = €7 072 000, E/V = 0.707, D/V = 0.293
WACC
WACC = 0.707·13% + 0.293·4.008%·(1 − 0.21) = 10.12%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 2500 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
総費用が等しい
30 000 + 18Q = 42 500 + 13Q
Q について解く
Q = (42 500 − 30 000)/(18 − 13) = 2 500
この量より少なければ方法 A が安く、多ければ自動化された方法 B が安くなります。
10.損益分岐点分析
答え: MS = 44.44 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 5 000/5 = 1 000
安全余裕率
MS = (1 800 − 1 000)/1 800·100 = 44.44%