コーポレートファイナンス：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

損益分岐点分析

貢献利益: CM = p − v
損益分岐点販売量: Q_BE = FC/(p − v)
目標利益: Q = (FC + profit)/(p − v)
利益: π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率: (Q − Q_BE)/Q

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

クレジットカードの名目年利は 17.5%、四半期複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。

r = 17.5%m = 4

EAR = %

2.貨幣の時間価値むずかしい

11 年間、毎月末に €250 を積み立てます。口座の利率は年 4.8%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。

A = €2504.8% / 12N = 132

FV = €

3.NPV と IRRふつう

€30 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€11 000, €10 000, €7 000。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 6%CF₀ = −30 000CF₁ = 11 000CF₂ = 10 000CF₃ = 7 000

NPV = €

4.NPV と IRRむずかしい

プロジェクト A の費用は €40 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €21 000, €16 000, €9 500 を生みます。プロジェクト B の費用は €42 000 で、€11 000, €17 500, €22 000 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。

A: −40 000, 21 000, 16 000, 9 500B: −42 000, 11 000, 17 500, 22 000

r* = %

5.債券の価格と利回りふつう

最終利回りが 6% のときに、残存期間 8 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 3%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 5.5% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 3%n = 8y₀ = 6%y₁ = 5.5%

HPR = %

6.債券の価格と利回りむずかしい

ある債券が €980 で取引され、最終利回りは 6%（年複利）、マコーレー・デュレーションは 6.9 年です。利回りが 75 ベーシスポイント低下した場合の新しい価格 P を、修正デュレーションを使って推定しなさい。

P₀ = €980y = 6%D = 6.9Δy = −75 bp

P = €

7.CAPM と WACCふつう

ベータ 1.6 の株式の要求収益率は 12.9% です。無リスク金利は 2.5% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 r_m はいくらですか？

β = 1.6r_e = 12.9%r_f = 2.5%

r_m = %

8.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 1 です。負債資本比率を 0.4 にする計画です。税率は 25%、無リスク金利は 3.5%、市場リスクプレミアムは 4% です。新しい資本構成での株主資本コスト r_e を求めなさい。

β_U = 1D/E = 0.4T = 25%r_f = 3.5%r_m − r_f = 4%

r_e = %

9.損益分岐点分析ふつう

ある製品は 1 個 €23 で売られ、変動費は 1 個あたり €18 です。固定費は月 €7 500 です。月 €2 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？

F = €7 500p = €23v = €18利益 = €2 000

Q = 個

10.損益分岐点分析むずかしい

ある製品は 1 個 €20 で売られ、変動費は 1 個あたり €18、固定費は年 €5 000 です。予算販売量は 3 250 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。

F = €5 000p = €20v = €18予算 = 3 250

MS = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: EAR = 18.68 %

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

1 期あたりの利率

r/m = 0.175/4 = 0.04375

1 年分の複利計算

EAR = (1 + 0.04375)⁴ − 1 = 1.187 − 1 = 18.68%

答え

EAR = 18.68%

利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。

2.貨幣の時間価値

答え: FV = 43360 €

月利と積立回数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·11 = 132

積立金の将来価値

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(1.694 − 1)/0.004 = €43 359.57

答え

FV = €43 359.57

自分で払い込んだのは €33 000。残りは利息です。

3.NPV と IRR

答え: NPV = −4845 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.06)¹ = 11 000/1.06 = 10 377.36

CF₂/(1 + 0.06)² = 10 000/1.124 = 8 899.96

CF₃/(1 + 0.06)³ = 7 000/1.191 = 5 877.33

合計する

NPV = €−4 845.34

答え

NPV = €−4 845.34

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

4.NPV と IRR

答え: r* = 7.766 %

交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。

キャッシュフローの差

ΔCF₀ = −42 000 − (−40 000) = −2 000

ΔCF₁ = 11 000 − 21 000 = −10 000

ΔCF₂ = 17 500 − 16 000 = 1 500

ΔCF₃ = 22 000 − 9 500 = 12 500

差の IRR

NPV_Δ(7%) = 168.09

NPV_Δ(8%) = −50.35

r* = 7.766%

答え

r* = 7.766%

確認：7.766% では両方の NPV が €854.61 です。

5.債券の価格と利回り

答え: HPR = 9.121 %

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

購入価格

C = €30.00, i = 0.06, N = 8

€30.00·(1 − 0.6274)/0.06 + €1 000·0.6274 = €186.29 + €627.41 = €813.71

売却価格

C = €30.00, i = 0.055, N = 7

€30.00·(1 − 0.6874)/0.055 + €1 000·0.6874 = €170.49 + €687.44 = €857.93

保有期間利回り

HPR = (30 + 857.93 − 813.71)/813.71 = 9.121%

答え

HPR = 9.121%

6.債券の価格と利回り

答え: P = 1028 €

デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正デュレーション

D_mod = 6.9/1.06 = 6.509

推定価格変化

%ΔP ≈ −6.509·(−0.0075) = 4.882%

P ≈ 980·(1 + 0.04882) = €1 027.84

答え

P = €1 027.84

デュレーションは線形の推定です。利回りの変化が大きいと、コンベクシティにより実際の価格は少し高くなります。

7.CAPM と WACC

答え: r_m = 9 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

市場リスクプレミアム

r_m − r_f = (12.9% − 2.5%)/1.6 = 6.5%

市場収益率

r_m = 2.5% + 6.5% = 9%

答え

r_m = 9%

8.CAPM と WACC

答え: r_e = 8.7 %

レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E) で、β_U は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。

レバードベータ

β_L = 1·(1 + 0.75·0.4) = 1.3

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 3.5% + 1.3·4% = 8.7%

答え

r_e = 8.7%

9.損益分岐点分析

答え: Q = 1900 個

CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。

1 個あたりの貢献利益

p − v = 23 − 18 = €5

目標利益のための販売量

Q = (F + 利益)/(p − v) = (7 500 + 2 000)/5 = 1 900

答え

Q = 1 900 個

10.損益分岐点分析

答え: MS = 23.08 %

損益分岐点販売量

Q = F/(p − v) = 5 000/2 = 2 500

安全余裕率

MS = (3 250 − 2 500)/3 250·100 = 23.08%

答え

MS = 23.08%

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