1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
6 年後に €15 000 が必要です。口座の利率は年 5%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
FV = €15 0005% / 4n = 6
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
26 年間、毎月末に €100 を積み立てます。口座の利率は年 5.4%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €1005.4% / 12N = 312
FV = €
3.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €100 000 です。6 年間、毎年末に €22 500 を生み、その後 €15 000 で売却できます。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €100 000CF = €22 500S = €15 000n = 6r = 10%
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €17 500, €16 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −25 000CF1 = 17 500CF2 = 16 500
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が 11 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 7% のとき €1 075 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。
F = €1 000n = 11P = €1 075YTM = 7%
c = %
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 3% の債券が 4 年後に満期を迎え、€1 080 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 3%n = 4P = €1 080
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €2 000 000 の株主資本と時価 €5 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 14%、税引前負債コストは 6%、税率は 20% です。WACC を求めなさい。
E = €2 000 000D = €5 000 000re = 14%rd = 6%T = 20%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €56.00 の株式 2 500 000 株と、1 口 €1 000 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 4%、税率は 21% です。株式のベータは 1.1、無リスク金利は 1.5%、市場収益率は 6% です。WACC を求めなさい。
β = 1.1rf = 1.5%rm = 6%rd = 4%T = 21%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある会社は 6 400 個を各 €32 で販売しています。1 個あたりの変動費は €30、固定費は €8 000 です。この販売水準での営業レバレッジ度 DOL を求めなさい。
Q = 6 400p = €32v = €30F = €8 000
DOL =
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €18 で売られ、変動費は 1 個あたり €12、固定費は年 €24 000 です。予算販売量は 5 000 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €24 000p = €18v = €12予算 = 5 000
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 11133 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = 0.05/4 = 0.0125
N = 4·6 = 24
現在価値
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1.347 = €11 132.96
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 67970 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045
N = 12·26 = 312
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 100·(4.059 − 1)/0.0045 = €67 970.00
自分で払い込んだのは €31 200。残りは利息です。
3.NPV と IRR
答え: NPV = 6460 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −100 000 + 97 993.37 + 8 467.11 = €6 460.47
4.NPV と IRR
答え: IRR = 23.46 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(20%) = 1 041.67
NPV(25%) = −440.00
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 20 + 5·1 041.67/(1 041.67 − (−440.00)) = 23.52%
正確な値: NPV(23.46%) = 0 → IRR = 23.46%
5.債券の価格と利回り
答え: c = 8 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
額面の現在価値
1000·(1 + 0.07)−11 = €475.09
クーポン
C = (1075 − 475.09)/7.499 = €80.00
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 0.9522 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 080 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
数値的に解く
P(1%) = €1 078.04, P(1%) = €1 078.04
YTM = 0.9522%
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.429 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €7 000 000, E/V = 0.2857, D/V = 0.7143
WACC
WACC = 0.2857·14% + 0.7143·6%·(1 − 0.2) = 7.429%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.039 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 500 000·€56.00 = €140 000 000
D = 20 000·€1 000 = €20 000 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 1.5% + 1.1·4.5% = 6.45%
ウェイト
V = €160 000 000, E/V = 0.875, D/V = 0.125
WACC
WACC = 0.875·6.45% + 0.125·4%·(1 − 0.21) = 6.039%
9.損益分岐点分析
答え: DOL = 2.667
営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益 は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。
貢献利益の合計
CM = 6 400·(32 − 30) = €12 800
営業利益
Π = 12 800 − 8 000 = €4 800
DOL
DOL = 12 800/4 800 = 2.667
10.損益分岐点分析
答え: MS = 20 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 24 000/6 = 4 000
安全余裕率
MS = (5 000 − 4 000)/5 000·100 = 20%