コーポレートファイナンス：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

損益分岐点分析

貢献利益: CM = p − v
損益分岐点販売量: Q_BE = FC/(p − v)
目標利益: Q = (FC + profit)/(p − v)
利益: π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率: (Q − Q_BE)/Q

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

9 年後に €10 000 が必要です。口座の利率は年 3%、月複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €10 0003% / 12n = 9

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€20 000 のローンを 5 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 5.4%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。

P = €20 0005.4% / 12N = 60

A = €

3.NPV と IRRふつう

€20 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€4 000, €9 000, €9 000, €10 000。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 8%CF₀ = −20 000CF₁ = 4 000CF₂ = 9 000CF₃ = 9 000CF₄ = 10 000

NPV = €

4.NPV と IRRむずかしい

プロジェクト A の費用は €40 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €23 000, €16 000, €8 500 を生みます。プロジェクト B の費用は €42 000 で、€12 500, €17 500, €22 000 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。

A: −40 000, 23 000, 16 000, 8 500B: −42 000, 12 500, 17 500, 22 000

r* = %

5.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が 7 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 4% のとき €1 060 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。

F = €1 000n = 7P = €1 060YTM = 4%

c = %

6.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000、年クーポン 7% の債券が 5 年後に満期を迎え、€1 085 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 7%n = 5P = €1 085

YTM = %

7.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €3 000 000 の株主資本と時価 €2 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 8%、税引前負債コストは 6%、税率は 20% です。WACC を求めなさい。

E = €3 000 000D = €2 000 000r_e = 8%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

8.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €42.00 の株式 2 500 000 株と、1 口 €980 で取引されている債券 10 000 口をもっています。税引前負債コストは 4%、税率は 30% です。株式のベータは 0.8、無リスク金利は 4%、市場収益率は 8.5% です。WACC を求めなさい。

β = 0.8r_f = 4%r_m = 8.5%r_d = 4%T = 30%

WACC = %

9.損益分岐点分析ふつう

ある製品は 1 個 €40 で売られ、変動費は 1 個あたり €20 です。固定費は月 €30 000 です。月 €2 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？

F = €30 000p = €40v = €20利益 = €2 000

Q = 個

10.損益分岐点分析むずかしい

ある製品は 1 個 €16 で売られ、変動費は 1 個あたり €6、固定費は年 €12 000 です。予算販売量は 1 560 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。

F = €12 000p = €16v = €6予算 = 1 560

MS = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 7636 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·9 = 108

現在価値

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1.31 = €7 636.37

答え

PV = €7 636.37

2.貨幣の時間価値

答え: A = 381.1 €

月利と返済回数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·5 = 60

返済額

等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。

(1 + i)^−N = 0.7638

A = 20 000·0.0045/(1 − 0.7638) = €381.10

答え

A = €381.10

3.NPV と IRR

答え: NPV = 5915 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.08)¹ = 4 000/1.08 = 3 703.70

CF₂/(1 + 0.08)² = 9 000/1.166 = 7 716.05

CF₃/(1 + 0.08)³ = 9 000/1.26 = 7 144.49

CF₄/(1 + 0.08)⁴ = 10 000/1.36 = 7 350.30

合計する

NPV = €5 914.54

答え

NPV = €5 914.54

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

4.NPV と IRR

答え: r* = 9.245 %

交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。

キャッシュフローの差

ΔCF₀ = −42 000 − (−40 000) = −2 000

ΔCF₁ = 12 500 − 23 000 = −10 500

ΔCF₂ = 17 500 − 16 000 = 1 500

ΔCF₃ = 22 000 − 8 500 = 13 500

差の IRR

NPV_Δ(9%) = 53.97

NPV_Δ(10%) = −163.04

r* = 9.245%

答え

r* = 9.245%

確認：9.245% では両方の NPV が €979.81 です。

5.債券の価格と利回り

答え: c = 5 %

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

額面の現在価値

1000·(1 + 0.04)⁻⁷ = €759.92

クーポン

C = (1060 − 759.92)/6.002 = €50.00

クーポン・レート

c = 50/1000 = 5%

答え

c = 5%

6.債券の価格と利回り

答え: YTM = 5.035 %

利回りの方程式

€1 085 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

数値的に解く

P(5%) = €1 086.59, P(6%) = €1 042.12

YTM = 5.035%

答え

YTM = 5.035%

7.CAPM と WACC

答え: WACC = 6.72 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €5 000 000, E/V = 0.6, D/V = 0.4

WACC

WACC = 0.6·8% + 0.4·6%·(1 − 0.2) = 6.72%

答え

WACC = 6.72%

8.CAPM と WACC

答え: WACC = 7.19 %

時価

E = 2 500 000·€42.00 = €105 000 000

D = 10 000·€980 = €9 800 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 4% + 0.8·4.5% = 7.6%

ウェイト

V = €114 800 000, E/V = 0.9146, D/V = 0.08537

WACC

WACC = 0.9146·7.6% + 0.08537·4%·(1 − 0.3) = 7.19%

答え

WACC = 7.19%

9.損益分岐点分析

答え: Q = 1600 個

CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。

1 個あたりの貢献利益

p − v = 40 − 20 = €20

目標利益のための販売量

Q = (F + 利益)/(p − v) = (30 000 + 2 000)/20 = 1 600

答え

Q = 1 600 個

10.損益分岐点分析

答え: MS = 23.08 %

損益分岐点販売量

Q = F/(p − v) = 12 000/10 = 1 200

安全余裕率

MS = (1 560 − 1 200)/1 560·100 = 23.08%

答え

MS = 23.08%

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