1 公式と解法貨幣の時間価値
将来価値 FV = PV·(1 + i)n
現在価値 PV = FV/(1 + i)n
年に複数の期間 i = r/m, N = m·n
年金現価 PV = PMT·[1 − (1 + i)−n ]/i
年金終価 FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i 解き方 すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。 答えの符号と桁を確認します。 NPV と IRR
正味現在価値 NPV = −C0 + Σ CFt /(1 + r)t
均等なキャッシュフロー NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n ]/r
内部収益率 NPV = 0 となる r
判断 NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用 解き方 すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。 各キャッシュフローを割り引きます：CFt /(1 + r)t 。 それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。 IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。 債券の価格と利回り
債券価格 P = C·(1 − (1 + y)−n )/y + F/(1 + y)n
半年ごとの利払い C/2、y/2、2n 期
直接利回り C/P
価格と利回り 利回り上昇 → 価格下落 解き方 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。 CAPM と WACC
CAPM re = rf + β·(rm − rf )
WACC E/V·re + D/V·rd ·(1 − T)
企業価値 V = E + D 損益分岐点分析
貢献利益 CM = p − v
損益分岐点販売量 QBE = FC/(p − v)
目標利益 Q = (FC + profit)/(p − v)
利益 π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率 (Q − QBE )/Q 2 演習問題1. 貨幣の時間価値 ふつう
10 年後に €20 000 が必要です。口座の利率は年 4%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
FV = €20 000 4% / 4 n = 10
PV =
2. 貨幣の時間価値 むずかしい
か月 0 1 2 3 … 264 €250 €250 €250 FV = ? 22 年間、毎月末に €250 を積み立てます。口座の利率は年 2.4%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €250 2.4% / 12 N = 264
FV =
3. NPV と IRR ふつう
年 0 1 2 3 4 5 6 −60 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 あるプロジェクトの費用は今日 €60 000 で、6 年間、毎年末に €20 000 を生みます。資本コストは 10% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。
r = 10% CF0 = −60 000 CF1 = 20 000 CF2 = 20 000 CF3 = 20 000 CF4 = 20 000 CF5 = 20 000 CF6 = 20 000
DPB =
4. NPV と IRR むずかしい
あるプロジェクトは €50 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €35 000, €29 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −50 000 CF1 = 35 000 CF2 = 29 500
IRR =
5. 債券の価格と利回り ふつう
年 0 1 2 3 4 P €40 €40 €40 + €1 000 額面 €1 000 の債券が年 4% のクーポンを支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りが 8% から 9.5% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？
F = €1 000 クーポンレート = 4% n = 4 y1 = 8% y2 = 9.5%
ΔP =
6. 債券の価格と利回り むずかしい
年 0 1 2 3 4 5 6 7 €1 085 €70 €70 + €1 000 額面 €1 000、年クーポン 7% の債券が 7 年後に満期を迎え、€1 085 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000 クーポンレート = 7% n = 7 P = €1 085
YTM =
7. CAPM と WACC ふつう
β r (%) SML rf = 3.5% β = 1 rm = ? β = 1.4 re = 11.2% ベータ 1.4 の株式の要求収益率は 11.2% です。無リスク金利は 3.5% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 rm はいくらですか？
β = 1.4 re = 11.2% rf = 3.5%
rm =
8. CAPM と WACC むずかしい
WACC = ? 自己資本 4 000 000 × €56.50 β = 1.2 rf = 1.5%, rm = 7.5% 負債 20 000 × €960 rd = 3% T = 20%
ある企業は1 株 €56.50 の株式 4 000 000 株と、1 口 €960 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 3%、税率は 20% です。株式のベータは 1.2、無リスク金利は 1.5%、市場収益率は 7.5% です。WACC を求めなさい。
β = 1.2 rf = 1.5% rm = 7.5% rd = 3% T = 20%
WACC =
9. 損益分岐点分析 ふつう
ある製品の単価は €20、1 個あたりの変動費は €12 です。固定費は月 €6 400 で、利益には 25% の税金がかかります。税引後で €3 000 を稼ぐには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
p = €20 v = €12 F = €6 400 T = 25% 税引後利益 = €3 000
Q =
10. 損益分岐点分析 むずかしい
F = €20 000, Q = ? 販売構成 2 × A p = €13 v = €8 3 × B p = €25 v = €15
ある会社は 2 つの製品を販売しています。製品 A の単価は €13、変動費は €8、製品 B の単価は €25、変動費は €15 です。両製品は A 2 個に対して B 3 個の一定の構成比で売れます。固定費は月 €20 000 です。損益分岐点に必要な総販売個数 Q （A と B の合計）を求めなさい。
pA = €13, vA = €8 pB = €25, vB = €15 A : B = 2 : 3 F = €20 000
Q =
3 溶液1. 貨幣の時間価値
答え: PV = 13433 €
貨幣の時間価値： 今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数 i = 0.04/4 = 0.01
N = 4·10 = 40
現在価値 PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1.489 = €13 433.06
2. 貨幣の時間価値
答え: FV = 86831 €
貨幣の時間価値： 今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数 i = 0.024/12 = 0.002
N = 12·22 = 264
積立金の将来価値 FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 250·(1.695 − 1)/0.002 = €86 830.50
自分で払い込んだのは €66 000。残りは利息です。
3. NPV と IRR
答え: DPB = 3.751 年
回収期間： 累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。
割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー 年度 1: 20 000/1.1 = 18 181.82 → Σ = 18 181.82
年度 2: 20 000/1.21 = 16 528.93 → Σ = 34 710.74
年度 3: 20 000/1.331 = 15 026.30 → Σ = 49 737.04
年度 4: 20 000/1.464 = 13 660.27 → Σ = 63 397.31
最後の年の端数 DPB = 3 + 10 262.96/13 660.27 = 3.751
割引回収期間は、常に単純回収期間（3 年）より長くなります。
4. NPV と IRR
答え: IRR = 19.41 %
正味現在価値： 各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む 利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(15%) = 2 741.02
NPV(20%) = −347.22
絞り込む 線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 15 + 5·2 741.02/(2 741.02 − (−347.22)) = 19.44%
正確な値: NPV(19.41%) = 0 → IRR = 19.41%
5. 債券の価格と利回り
答え: ΔP = −43.76 €
債券の価格： 債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
元の利回りでの価格 C = €40.00, i = 0.08, N = 4
€40.00·(1 − 0.735)/0.08 + €1 000·0.735 = €132.49 + €735.03 = €867.51
新しい利回りでの価格 C = €40.00, i = 0.095, N = 4
€40.00·(1 − 0.6956)/0.095 + €1 000·0.6956 = €128.18 + €695.57 = €823.75
変化 ΔP = 823.75 − 867.51 = −€43.76
6. 債券の価格と利回り
答え: YTM = 5.504 %
債券の価格： 債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式 €1 085 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
数値的に解く P(5%) = €1 115.73, P(6%) = €1 055.82
YTM = 5.504%
7. CAPM と WACC
答え: rm = 9 %
資本コスト： CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf )。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd ·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
市場リスクプレミアム rm − rf = (11.2% − 3.5%)/1.4 = 5.5%
8. CAPM と WACC
答え: WACC = 8.207 %
資本コスト： CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf )。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd ·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価 E = 4 000 000·€56.50 = €226 000 000
D = 20 000·€960 = €19 200 000
株主資本コスト（CAPM） re = 1.5% + 1.2·6% = 8.7%
ウェイト V = €245 200 000, E/V = 0.9217, D/V = 0.0783
WACC WACC = 0.9217·8.7% + 0.0783·3%·(1 − 0.2) = 8.207%
9. 損益分岐点分析
答え: Q = 1300 個
CVP 分析： 製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
必要な税引前利益 3 000/(1 − 0.25) = €4 000
必要な販売量 Q = (6 400 + 4 000)/8 = 1 300
10. 損益分岐点分析
答え: Q = 2500 個
販売構成比がある場合の損益分岐点： 製品が一定の比率で売れるときは、加重平均貢献利益を使います：各製品の p − v を個数の割合で重み付けします。損益分岐点販売量 = F/（加重貢献利益）で、それを再び構成比で分けます。
損益分岐点販売量 Q = 20 000/8 = 2 500
A: 1 000, B: 1 500